南模中学2025-2026学年第一学期高二年级数学月考 一、填空题 1．设集合，，则_____． 2．已知角的两边和角的两边分别平行，且，则_____． 3．已知，，则的取值范围是_____． 4．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积_____． 5．函数的部分图像，如右图所示，则_____． 6．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____． 7．若数列的前项和为，则数列的通项公式是_____． 8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为_____． 9．已知，，，，五个点，满足：，，则的最小值为_____． 10．已知与两异面直线，都垂直且都相交，，且与成角，在直线上取，在直线上取，则，两点的距离是_____． 11．函数的值域为_____． 12．正方体棱长为2，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为_____． 二、选择题 13．设，是不同的直线，，在平面内，则“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知，则的“优美点”个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 15．如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ） A．的最大值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 16．已知四边形，对四条边、、、依次进行如下操作：随机抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则擦除该边，若反面朝上，则不擦除．在操作完成后，从点出发，沿着未擦除的边移动，则能到达点的概率是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； 19．在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是线段、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为所有棱长都为6，求四边形的周长； 20．已知数列、均为各项都不相等的数列，为的前项和，（）． （1）若，，求的值； （2）若是公比为的等比数列．求证：数列为等比数列； （3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：、、…、、…成等差数列的充要条件是． 21．对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． （1）若，，，则是否分别为，的生成函数？并说明理由： （2）设，，，，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）设，，取，，生成函数图像的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数，且．试问：是否存在最大的常数．使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 12．正方体棱长为2，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】如图，若点的位置确定， 则当点满足时，最短，此时点是的中点， 将平面转到位置，使其与平面共面， 故 故答案为：． 二、选择题 13.B 14.C 15.C 16.B 15．如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ） A．的最大值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 【答案】C 【解析】以为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则， 内切圆的方程为，可设， 则，， 所以 ... ...
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