中小学教育资源及组卷应用平台 2026高考数学第二轮专题 专题突破练25 导数与不等式恒(能)成立问题 1.(15分)(2025山东滨州二模)已知函数f(x)=+aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若a>0时,f(x)≥a2-(a+1)ln a恒成立,求实数a的值. 2.(15分)(2025湖北武汉三模)已知函数f(x)=ex-ax,a∈R. (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)当x≥0时,f(x)≥x,求实数a的取值范围. 3.(17分)(2024新高考Ⅰ,18)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3. (1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值; (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)若f(x)>-2,当且仅当10时,由f'(x)>0解得x>,由f'(x)<0解得00时,f(x)在内单调递增,在内单调递减. (2)由(1)知当a>0时,f(x)在内单调递增,在内单调递减, 所以函数f(x)的最小值为f=a-aln a,所以a-aln a≥a2-(a+1)ln a恒成立, 整理得a2-ln a-a≤0, 令h(x)=x2-ln x-x, 则h'(x)=2x--1=, 由h'(x)>0解得x>1, 由h'(x)<0解得00时,ex>1,所以f'(x)=ex-1>0,则f(x)在(0,+∞)内单调递增. 综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞). (2)当x≥0时,f(x)≥x,即ex-ax≥x,移项可得ex-(a+1)x≥0. 当x=0时,e0-(a+1)×0=1≥0,此时a可以取任意实数. 当x>0时,ex-(a+1)x≥0可化为a+1, 令g(x)=(x>0),对g(x)求导,可得g'(x)= 令g'(x)=0,即=0,因为ex>0,x2>0,所以x-1=0,解得x=1. 当01时,x-1>0,所以g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)内单调递增. 则g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,g(1)==e. 所以a+1≤e,解得a≤e-1. 故实数a的取值范围是(-∞,e-1]. 3.(1)解 由>0,得函数f(x)的定义域为(0,2). 当b=0时,f(x)=ln x-ln(2-x)+ax, 则f'(x)=+a. 由f'(x)≥0,得+a≥0, 即a(0-2,当且仅当1-2在区间(1,2)内恒成立. f'(x)=-2+3b(x-1)2=+3b(x-1)2=(x-1)2·[+3b], 令g(x)=+3b, 则g(1)=2+3b,由2+3b≥0, 得b≥-,此时,f'(x)≥0,f(x)在区间(1,2)内单调递增.∴在区间(1,2)内恒有f(x)>f(1)=-2. 若b<-,则存在x∈(1,ε),使得f'(x)<0,f(x)在区间(1,ε)内单调递减, 则在区间(1,ε)内,f(x)0对 x∈(1,2)恒成立, ∴h(x)>h(1)=-2符合条件. ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
