专题突破练26　导数与不等式的证明--2026高考数学第二轮专题复习练

中小学教育资源及组卷应用平台 2026高考数学第二轮专题 专题突破练26　导数与不等式的证明 1.(15分)已知函数f(x)=. (1)试问曲线y=f(x)是否存在过原点的切线 若存在,求切点的坐标;若不存在,请说明理由. (2)证明:f(x)>x2ln x.(参考数据:e5>128) 2.(15分)(2025河北衡水模拟)已知函数f(x)=ex+ax-1,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是e-1. 证明:(1)f(x)≥0. (2)ex-3>ln x-1. 3.(17分)(2025江苏南通模拟)已知函数f(x)=exsin x,g(x)=2ln(x+1)-x. (1)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当x∈(0,)时,f(x)>exg(x); (3)求证:ln(n+1)0). (1)若I=[-10,10],任取f(x)的一个自映射区间,求其区间的长度d>π的概率; (2)若g(x)存在自映射区间[a,b], ①求m的取值范围; ②求证:ab>e2,且[a,b]的长度d>2. 答案： 1.(1)解 假设曲线y=f(x)存在过原点的切线,易知该切线的斜率存在,设为k,并设切点为(m,km),函数f(x)=求导得f'(x)=, 则 整理得em(m-1)=em,解得m=2, 则km=, 所以曲线y=f(x)存在过原点的切线,且切点为 (2)证明 x∈(0,+∞),不等式f(x)>x2ln x即为x2ln x,即设函数g(x)=(x>0),求导得g'(x)=, 当x∈(0,4)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(4,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 则g(x)min=g(4)= 设函数h(x)=,求导得h'(x)= 当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 则h(x)max=h(e)=, 因为e5>128,即有, 因此g(x)min>h(x)max, 所以f(x)>x2ln x. 2.证明 (1)因为f(x)=ex+ax-1, 所以f'(x)=ex+a, 所以f'(1)=e+a. 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是e-1, 所以e+a=e-1,解得a=-1. 所以f(x)=ex-x-1, 则f'(x)=ex-1, 由f'(x)>0,得x>0, 由f'(x)<0,得x<0, 所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,在(-∞,0)内单调递减, 所以f(x)min=f(0)=0,所以f(x)≥0. (2)令g(x)=ex-3-ln x+1(x>0), 则g'(x)=ex-3- 令m(x)=xex-3-1,则m'(x)=ex-3+xex-3>0,所以m(x)在(0,+∞)内单调递增, 又m(2)=-1<0,m(3)=3-1=2>0, 所以存在x0∈(2,3),使得m(x0)=0, 即x0-1=0, 即x0=, 且当x∈(0,x0)时,m(x)<0, 则g'(x)<0, 当x∈(x0,+∞)时,m(x)>0, 则g'(x)>0, 所以g(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增, 所以g(x)min=g(x0)=-ln x0+1=+1=+x0-2. 因为x0∈(2,3),所以x0-2>0, 所以g(x)min>0, 所以g(x)≥g(x)min>0, 即ex-3>ln x-1. 3.(1)解 因为f(x)=exsin x, 所以f(0)=e0sin 0=0,f'(x)=exsin x+excos x,所以切线斜率为f'(0)=e0sin 0+e0cos 0=1, 所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=1×(x-0),即x-y=0. (2)证明 因为ex>0,所以f(x)>exg(x)等价于sin x>2ln(x+1)-x. 设t(x)=sin x+x-2ln(x+1), 所以t'(x)=cos x+1-,且t(0)=0,t'(0)=0. 当x∈(0,)时, 设q(x)=t'(x)=cos x+1-, 则q'(x)=-sin x+ 因为函数y=-sin x,y=在(0,)内均为减函数, 则q'(x)在(0,)内单调递减, 又因为q'(0)=2>0,q'()=-1+<0, 所以 x0∈(0,),使得q'(x0)=0, 且当00,当x00, 所以对任意的x∈(0,),t'(x)=q(x)>0, 则t(x)在(0,)内单调递增, 所以t(x)>t(0)=0. 综上,当x∈(0,)时,t(x)>0,即得sin x>2ln(x+1)-x, 所以f(x)>exg(x). (3)证明 因为n∈N*,所以0< 接下来证明sin x>ln(x+1),其中x∈(0,). 设m(x)=sin x-ln(x+1), 则m'(x)=cos x-, 设n(x)=m'(x), 则n'(x)=-sin x+ 因为函数y=-sin x,y=在(0,)内均单调递减, 则n'(x)=-sin x+在区间(0,)内单 ... ...