中小学教育资源及组卷应用平台 2026高考数学第二轮专题 专题突破练27 导数与函数的零点 1.(15分)(2025山东济南模拟)已知函数f(x)=sin x+sin 2x-2x+ax3. (1)当a=0时,求函数f(x)的零点个数; (2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围. 2.(15分)(2025安徽马鞍山二模)已知函数f(x)=2ae2x+2(a-1)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围. 3.(17分)(2025湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex-a(x-1). (1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线l在x轴上的截距为2,求a的值; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围; (3)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:>1. 4.(17分)(2025河北石家庄模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,在计算机数学中有着广泛的应用.给定自然数m,n,我们定义函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似为R(x)=,且满足:f(0)=R(0),f'(0)=R'(0),f(2)(0)=R(2)(0),…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f(2)(x)=[f'(x)]',f(3)(x)=[f(2)(x)]',…,f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]',已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为R(x)=. (1)求实数a,b的值; (2)证明:当x>0时,f(x)>R(x); (3)已知x1,x2,x3是函数g(x)=xln x-k(x2-1)的三个不同的零点,求实数k的取值范围,并证明:x1+x2+x3>-3. 答案： 1.解 (1)当a=0时,f(x)=sin x+sin 2x-2x,定义域为R. 于是f'(x)=cos x+cos 2x-2≤1+1-2=0,故f(x)在R上单调递减. 又f(0)=0, 故函数f(x)的零点个数为1. (2)因为f(-x)=-sin x-sin 2x+2x-ax3=-f(x), 所以f(x)为奇函数, 若函数f(x)有且只有一个零点, 由于f(0)=0, 则当x>0时,f(x)<0或f(x)>0. 由(1)可知当a=0时,f(x)=sin x+sin 2x-2x在(0,+∞)内单调递减, 此时f(x)
0时,f(x)≤sin x+sin 2x-2x<0,符合题意. 因为f'(x)=cos x+cos 2x-2+3ax2,令g(x)=cos x+cos 2x-2+3ax2, 则g'(x)=-sin x-2sin 2x+6ax. 令h(x)=-sin x-2sin 2x+6ax, 则h'(x)=-cos x-4cos 2x+6a. 若a,则h'(x)=-cos x-4cos 2x+6a≥-1-4+5=0, 故h(x)在(0,+∞)内单调递增, 于是h(x)>h(0)=0.故g(x)在(0,+∞)内单调递增, 于是g(x)>g(0)=0.则f(x)在(0,+∞)内单调递增,此时f(x)>f(0)=0,符合题意. 若00,故f(x)在(0,)内存在零点,矛盾. 综上,实数a的取值范围为(-∞,0]∪[,+∞). 2.解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=4ae2x+2(a-1)ex-1=(2aex-1)(2ex+1). 若a≤0,则f'(x)<0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减; 若a>0,则由f'(x)=0得x=-ln 2a. 当x∈(-∞,-ln 2a)时,f'(x)<0; 当x∈(-ln 2a,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,-ln 2a)内单调递减,在(-ln 2a,+∞)内单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减; 当a>0时,f(x)在(-∞,-ln 2a)内单调递减,在(-ln 2a,+∞)内单调递增. (2)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. 若a>0,由(1)知,当x=-ln 2a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln 2a)=1-+ln 2a. ①当a=时,由于f(-ln 2a)=0, 故f(x)只有一个零点; ②当a时,因为y=1-单调递增,y=ln 2a单调递增,所以y=1-+ln 2a单调递增, 所以1-+ln 2a>1-+ln=0,f(-ln 2a)>0,故f(x)没有零点; ③当a时,由于1-+ln 2a<0,即f(-ln 2a)<0, 又f(-2)=2ae-4+2(a-1)e-2+2=+2->2->0,故f(x)在(-∞,-ln 2a)内只有一个零点.设正整数n0满足n0>ln>-ln 2a,则f(n0)=(2a+2a-2)-n0>-n0>0,故f(x)在(-ln 2a,+∞)内只有一个零点. 综上,a的取值范围是 3.(1)解 因为f(1)=e,则点P(1,e) ... ... 
