中小学教育资源及组卷应用平台 2026高考数学第二轮专题 专题突破练4 平面向量的综合应用 必备知识夯实练 1.(2023全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos
=( ) A. B. C. D. 2.(2025浙江金华三模)已知|a|=1,|a+b|=,向量a与b的夹角为,则|b|=( ) A.1 B. C. D.2 3.(2024全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( ) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 4.(2025江苏南通一模)若非零向量a,b满足|a|=2|b|,且向量b在向量a上的投影向量是-a,则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D.π 5.(2025湖南长沙模拟)已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则=( ) A. B. C.1 D. 6.(2025山东烟台一模)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,则||=( ) A. B. C. D.2 7.(2025江苏南京二模)在四边形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,F是线段BE上的动点,可以与点B,E重合,则的最小值为( ) A.- B.- C.- D.- 8.(2025广东惠州模拟)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a-2b)⊥a,则|a-b|= . 9.(2025江苏南京模拟)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x=y,则x+4y的最小值为 . 关键能力提升练 10.(2025山东济南二模)在正方形ABCD中,AB=4,E为AB的中点,F为BC边上靠近点C的四等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF=( ) A.- B.- C. D. 11.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是( ) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 12.(多选题)(2025浙江台州二模)已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则下列选项正确的是( ) A.|a+b+c|的取值范围是[0,9] B.(a+b)·(a+c)的最大值为30 C.(a+b)·(a+c)的最小值为- D.(a+b)·(a+c)的最小值为-10 13.(2025北京,10)已知在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2|的取值范围是( ) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 核心素养创新练 14.(2025山东青岛模拟)“超椭圆”C:=1(n>0)是一种优美的封闭曲线.如图是当n=,a=b=1时C的图象,点Q是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则的取值范围是( ) A.[-] B.[-] C.[0,] D.[0,] 答案： 1.B 解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cos=故选B. 2.B 解析 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|+|b|2=|b|2+|b|+1=5,解得|b|=或|b|=-2(舍去).故选B. 3.C 解析 若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+或x=1-故选C. 4.B 解析 ∵b在a上的投影向量为a=-a,=-,∴a·b=-|a|2,则cos==-, ∵∈[0,π],∴=故选B. 5.B 解析 因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF, 所以△FEB∽△FAD,所以=2,所以)=,故=()12+1×1故选B. 6.C 解析 在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3, 所以)=, 则||= = = = 故选C. 7.C 解析 如图,以A为坐标原点,以直线AB,AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 因为AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1),而F是线段BE上的动点,从而可设=+(1-λ)=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以点F的坐标是(2λ,1-λ),所以=(2-2λ,-1+λ),=(1-2λ,1+λ), =(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5,λ∈[0,1], 所以当λ=时,取最小值-故选C. 8.2 解析 因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,因为|a|=1,所以2a·b=1,又|b|=2,所以|a-b|==2. 9.3 解析 因为点G为△ABC的重心,可得)=, 又因为G,M,N三点共线,所以=1, 易知x>0,y>0,所以x+4y=(x+4y)()=(5+)(5+2)=3, 当且仅当x=1,y=时,等号成立,所以x+4y的最小值为3. 10.A 解析 如 ... ... 
