2.2第2课时基本不等式的应用 课时作业（含答案） 人教版高中数学必修第一册

第2课时　基本不等式的应用(习题课) 基础巩固 1.已知x>0,y>0,xy=9,则x+3y的最小值为(　D　) A.8 B.6 C.8 D.6 解析:x+3y≥2=6,当且仅当x=3y=3时,等号成立,故选D. 2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0,则+的最小值为(　A　) A.4 B.6 C.8 D.12 解析:由题意,实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0, 则+=×(+)(2m+n)=×(4++)≥×(4+2)=4, 当且仅当=时,即m=,n=1时,等号成立, 所以+的最小值为4.故选A. 3.设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k等于(　D　) A.3 B. C. D. 解析:因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数), 所以a·kb≤=1,则a·b≤, 所以=3, 所以k=.故选D. 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　C　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由题意可知,=-(x+) +12≤-2+12=2,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.故选C. 5.若不等式x2-ax+1≥0对于一切x>0恒成立,则a的最大值为　　　　. 解析:不等式x2-ax+1≥0对于一切x>0恒成立,即a≤x+在x>0上恒成立. 又x+≥2=2,当且仅当x==1时,取等号.故a≤2,即a的最大值为2. 答案:2 6.我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为　　　　. 解析:由题意知,p=7,S==≤ ·=3, 当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,因此三角形面积的最大值为3. 答案:3 能力提升 7.已知x>0,y>0,满足x2+2xy-1=0,则3x+2y的最小值是(　D　) A. B. C.2 D.2 解析:由x2+2xy-1=0,得y=,而x>0,y>0,则有0-,故C选项错误.故选ABD. 9.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为(　B　) A.2 m2 B.12 m2 C.16 m2 D.24 m2 解析:设AD=x,则BD=8-x,因为△CFE∽△CAB,所以=,解得AF=6-x,其中0-2,a>”为真命题,则a的取值范围是(　B　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 解析:因为x>-2,所以x+2>0, 所以==≤=1,　 当且仅当x+2=,即x=-1时,等号成立,所以由 x>-2,a>成立,可得a>1. 故选B. 11.若x>0,y>0,且+=1,当且仅当x=　　　　,y=　　　　时,x+2y取得最小值. 解析:因为x>0,y>0,且+=1, 所以x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8, 当且仅当=时,x+2y取得最小值, 由+=1,2y=x,得x=4,y=2. 答案:4　2 应用创新 12.已知x,y为正实数,且满足x2+4y2+xy=5,则x+2y的最大值是(　B　) A. B.2 C. D.2 解析:因为x2+4y2+xy=5, 所以(x+2y)2=5+3xy, 所以x+2y=, 又5-xy=x2+4y2≥4xy,xy≤1, 所以x+2y=≤=2, 当且仅当x=2y=时取等号. 则x+2y ... ...