2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 基础巩固 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若0
>>b B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 3.已知x>0,则3x+的最小值为( ) A.3 B.2 C.3 D.2 4.已知0-1,则2+3x+的最小值为 ,此时x为 . 6.已知x,y为正实数,且x+2y=3,则+的最小值为 ,的最大值为 . 能力提升 7.已知a>0,b>0,则++2的最小值是( ) A.2 B.2 C.4 D.5 8.(多选题)已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的关系是( ) A.x>y B.xy D.y0,b>0,a·b=1,则下列选项的不等式中,正确的有( ) A.a+b≥2 B.+≥2 C.a2+b2≥2 D.+≥2 11.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为 . 12.若正数a,b满足5ab=a+b+3,则ab的取值范围是 . 13.设a>0,b>0,c>0,求证: (1)+≥; (2)++≥++. 应用创新 14.已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,求: (1)ab的最小值; (2)a+b的最小值.2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 基础巩固 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0.故选C. 2.若0>>b B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 解析:因为0a+b, 所以b>>. 因为b>a>0,所以ab>a2, 所以>a. 故b>>>a.故选C. 3.已知x>0,则3x+的最小值为( D ) A.3 B.2 C.3 D.2 解析:因为x>0,所以3x+≥2=2, 当且仅当3x=,即x=时,取等号.故选D. 4.已知00,所以a=≤=1,当且仅当a2=2-a2,即a=1时,等号成立,所以a的最大值为1.故选C. 5.已知x>-1,则2+3x+的最小值为 ,此时x为 . 解析:因为x+1>0,所以2+3x+=3(x+1)+-1≥2-1=11,当且仅当3(x+1)=,即x=1时,原式取最小值. 答案:11 1 6.已知x,y为正实数,且x+2y=3,则+的最小值为 ,的最大值为 . 解析:+=(x+2y)(+)=×(7++)≥×(7+2)=,当且仅当x=,y=时取到最小值; =≤=,当且仅当x=,y=时,取到最大值. 答案: 能力提升 7.已知a>0,b>0,则++2的最小值是( C ) A.2 B.2 C.4 D.5 解析:因为a>0,b>0,所以++2≥ 2+2≥4=4, 当且仅当a=b=1时,等号成立.故选C. 8.(多选题)已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的关系是( BD ) A.x>y B.xy D.y0,b>0,且a≠b,所以x2=<=a+b=y2,因为x>0,y>0,所以x0,b>0,a·b=1,则下列选项的不等式中,正确的有( ABCD ) A.a+b≥2 B.+≥2 C.a2+b2≥2 D.+≥2 解析:由于a>0,b>0,a·b=1, 由基本不等式得a+b≥2=2, +≥2=2, a2+b2≥2ab=2, +≥2=2, 上述不等式当且仅当a=b=1时,等号成立,所以ABCD四个选项都正确.故选ABCD. 11.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为 . 解析:因为x>0,y>0, 所以1+x>0,1+y>0, 所以(1+x)(1+y)≤[]2=(+1)2=25,当且仅当x=y,即x=y=4时取等号. 答案:25 12.若正数a,b满足5ab=a+b+3,则ab的取值范围是 . 解析:因为a,b为正数,所以5ab=a+b+3≥2+3,化为5-2-3≥0, 解得≤-(舍去)或≥1,即ab≥1. 当且仅当a=b=1时取等号. 所以ab的取值范围是{ab|ab≥1}. 答案:{ab|ab≥1} 13.设a>0,b>0,c>0,求证: (1)+≥; (2)++≥++. 证明:(1)因为a>0,b> ... ... 