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课件网) 1.3.2完全平方公式 第一章 整式的乘除 新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 买合苏迪古丽·买买提 托克逊县第二中学 15909954880 1.3.2 完全平方公式 学习目标 理解完全平方公式的推导过程，能准确表述完全平方公式的内容及结构特征。 熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算、多项式因式分解以及化简求值，提升运算的准确性和效率。 通过探究完全平方公式的几何意义和变形应用，体会数形结合思想和转化思想，培养数学思维能力。 情境引入 在学习平方差公式后，我们知道特殊形式的多项式乘法可以用简便公式计算。那么，对于两个相同的二项式相乘，比如\((a + b)^2\)、\((a - b)^2\)，是否也有简便的运算规律呢？我们先来计算两组式子： (1) \((3 + 2)^2\)，按照乘方的意义，\((3 + 2)^2=(3 + 2)(3 + 2)=3 3 + 3 2 + 2 3 + 2 2=9 + 6 + 6 + 4=25\)； (2) \((5 - 1)^2\)，同理\((5 - 1)^2=(5 - 1)(5 - 1)=5 5 + 5 (-1)+(-1) 5 + (-1) (-1)=25 - 5 - 5 + 1=16\)。 观察计算结果，\((3 + 2)^2=3^2 + 2 3 2 + 2^2=25\)，\((5 - 1)^2=5^2 + 2 5 (-1)+(-1)^2=16\)。这其中是否存在普遍规律？本节课我们就来学习完全平方公式。 完全平方公式推导 从多项式乘法到完全平方公式 我们以\((a + b)^2\)和\((a - b)^2\)为例推导公式。 计算\((a + b)^2\)：根据乘方的意义，\((a + b)^2=(a + b)(a + b)\)。按照多项式乘法法则展开，得到\(a a + a b + b a + b b\)。合并同类项后，\(a b + b a = 2ab\)，所以\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。 计算\((a - b)^2\)：同理\((a - b)^2=(a - b)(a - b)=a a + a (-b)+(-b) a + (-b) (-b)\)。合并同类项，\(a (-b)+(-b) a=-2ab\)，因此\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。 由此，我们得到完全平方公式： 两数和的完全平方公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数积的 2 倍，用符号表示为\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。 两数差的完全平方公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减去这两个数积的 2 倍，用符号表示为\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。 这里的\(a\)和\(b\)可以是具体数字、单项式或多项式。 完全平方公式的几何解释 我们可以通过几何图形直观理解完全平方公式。 对于\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)：假设有一个边长为\((a + b)\)的正方形，它可以分割成一个边长为\(a\)的正方形、一个边长为\(b\)的正方形，以及两个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形，如图所示： [此处可插入边长为 (a+b) 的正方形分割示意图] 大正方形的面积为\((a + b)^2\)，三个部分的面积分别为\(a^2\)、\(b^2\)和\(ab\)（两个长方形面积和为\(2ab\)），因此\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。 对于\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)：边长为\(a\)的正方形中，减去一个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形后，剩余部分再减去一个同样的长方形，会多减一个边长为\(b\)的正方形，需要补回来，如图所示： [此处可插入边长为 a 的正方形分割示意图] 最终得到的小正方形面积为\((a - b)^2\)，其面积等于大正方形面积\(a^2\)减去两个长方形面积\(2ab\)，再加上补回的小正方形面积\(b^2\)，即\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。 完全平方公式的应用 直接运用完全平方公式计算 例 1：利用完全平方公式计算 (1) \((2x + 3y)^2\) (2) \((4m - 5n)^2\) (3) \((-a + 2b)^2\) 解： (1) 对于\((2x + 3y)^2\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，可得：\((2x + 3y)^2=(2x)^2 + 2 2x 3y + (3y)^2=4x^2 + 12xy + 9y^2\)。 (2) 对于\((4m - 5n)^2\)，\(a = 4m\)， ... ...
