培优集训 特殊四边形的折叠问题 类 型 一 折叠的基本性质 1.［25·河南］ 如图，在菱形 ABCD 中，∠B=45°，AB=6，点 E 在边 BC 上，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，若点 B 落在 BC 延长线上的点 F 处，则 CF 的长为 （ ） 2.［25·内江］ 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点B的坐标为（1，0），点 E 在边 CD 上．将△ADE沿 AE 折叠，点 D 落在点 F 处．若点 F 的坐标为（0，3），则点 E 的坐标为 _____. 3.［25·江西］ 如图，在矩形纸片 ABCD 中，沿着点 A 折叠纸片并展开，AB 的对应边为 AB′，折痕与边 BC 交于点 P．当 AB′与 AB，AD 中任意一边的夹角为 15°时，∠APB 的度数可以是 _____． 类 型 二 折叠的综合应用 4. 如图，E 是菱形 ABCD 的边 BC 上的点，连接 AE.将菱形 ABCD 沿 AE 翻折，点 B恰好落在 CD 的中点 F 处，则 tan∠ABE的值是 （ ） A． 4 B． 5 C． D． 5. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，将正方形沿直线 AN 折叠，点 B 落在对角线上的点 M 处，折痕AN 交 BD 于点 E，则BE的长为 （ ） 6.［25·邢台模拟］ 如图， ABCD 中，AB=2，BC=3，∠B=60°，P 是 BC 边上的点（且满足 BP＞1）．将△ABP 沿 AP 折叠，使点 B落在平面上 B′处， 射线 PB′与射线 AD交于点 E． 甲：当 AB′⊥AB 时，AB′=EB′； 乙：当点 B′落在射线 AD 上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点 P 位置的变化，线段 AE 的最小值为 2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（ ） A． 只有乙对 B． 甲和丙都对 C． 乙对，丙错 D． 三人的说法都对 7. 操作 如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿 AE 折叠后得到△AFE，点 F 在正方形 ABCD 内部，延长AF 交 CD 于点 G．易知 GF=GC． 探究 （1）若将图 1 中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图 2，那么线段 GF与 GC 相等吗？ 请说明理由； 拓展 （2）如图 3，将图 1 中的正方形ABCD 改为平 行四边形，其他条件不变，若 AB=3，AD=4，则△AGD 的周长为_____． 8. 综合与实践［25·眉山］【问题情境】 下面 是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】 如图 1，将矩形纸片 ABCD沿过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 AD边上的点 B′处，折痕交 AB于点E，再沿着过点 B′的直线折叠，使点 D 落在 B′C边上的点 D′处，折痕交 CD 于点 F．将纸片展平，画出对应点B′，D′及折痕CE，B′F，连接B′E，B′C，D′F． 【初步猜想】（1）确定 CE 和 B′F 的位置关系及线段 BE 和 CF 的数量关系． 创新小组经过探究，发现 CE∥B′F，证明过程如下： 由折叠可知∠DB′F=∠CB′F=∠DB′C，∠ECB′=∠ECB=∠BCB′．由矩形的性质，可知 AD∥BC， ∴∠DB′C=∠BCB′， ∴①_____，∴CE∥B′F． 智慧小组先测量 BE 和 CF 的长度，猜想其关系为②_____． 经过探究，发现验证 BE 和 CF 数量关系的方法不唯一： 方法一：证明△AB′ E≌△D′ CF，得到B′E=CF，再由 B′E=BE 可得结论． 方法二：过点 B′作 AB 的平行线交 CE 于点 G，构造平行四边形 CFB′G，然后证B′G=B′E 可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF 的数量关系，写出证明过程； 【尝试运用】（3）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=6，按上述操作折叠并展开后，过点B′作 B′G∥AB 交 CE 于点 G，连接 D′G，当△B′D′G 为直角三角形时，求出 BE 的长． 培优集训 特殊四边形的折叠问题 1. D 2.（-1.5，5） 提示：设正方形 ABCD 的边长为 a，CD 与 y 轴相交于点 G，则四边形 BOGC 是矩形， ∴OG=BC=a，CG=BO，∠EGF=90°． 由折叠的性质，得 AD=AF=a，DE=FE． ∵ 点 B 的坐标为（1，0），点 F 的坐标为 ... ...
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