(
课件网) 专题四 几何综合 相似运用 1．掌握相似三角形模型———基本型、斜交型、旋转型、一线三等角型． 2．从复杂图形中“离析”出相似三角形的基本模型解决问题． 3．通过抽象模型、图形变换、变式类比等方法提高解决综合题的能力． 1．【基本型】(2025·贵阳模拟)如图，在5×4的正方形网格中，点A，C在网格点上，线段AC与网格线交于点B，则AB∶BC等于( ) A C 3．【一线三等角型】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，F在CD边上，CF＝2，E是BC边上一点，EF⊥AE，求BE的长． 解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8， CD＝AB＝6， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵EF⊥AE， ∴∠AEB＋∠CEF＝90°.∴∠BAE＝∠CEF. 4.(2024·黔南州一模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，过点B作BE∥AD交CD于点E，点F为AD边上一点，且AF＝BE，连接EF. (1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由； 解：(1)四边形ABEF是矩形．理由如下： ∵BE∥AF，BE＝AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． 又∠A＝90°，∴四边形ABEF是矩形． (2)由(1)知四边形ABEF是矩形， ∴∠BEF＝∠C＝90°. ∴∠CEB＋∠CBE＝∠CEB＋∠FED＝90°. 小明：经过分析发现，图形中存在与∠BAD相等的角； 小胖：根据我的解题经验，要求AB的长，可以考虑构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例解决问题； 小林：既然构造相似三角形，可以在CD上取一点F，构建“一线三等角”的图形解决问题． (1)请你完成这个题目的解答过程； 解：如图①，在CD上取点F，连接EF，使∠DEF＝∠ADB. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠B. ∵∠ADF＝∠B＋∠BAD＝∠EDF＋∠ADE， ∴∠EDF＝∠BAD. ∵∠ADB＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF. 解：如图②，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，连接ER. ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝∠ABC． ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE. ∵∠ADE＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠AED＝∠ADE. ∵∠BDA＝∠DAT＋∠ATD＝∠BDE＋∠ADE， ∠DAT＝∠BDE， ∴∠ATD＝∠ADE＝∠DBE. ∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER. ∴∠BED＝∠AER. ∴∠BER＝∠AED＝∠DBE. ∴ER＝BR＝DT. ∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC， ∴△ABR≌△ACT(AAS)． ∴BR＝CT.∴DT＝CT. ∴CD＝2DT. 变式训练 【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°.求证：AC·BF＝AD·BD. 证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°. ∵∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°， ∴∠ACD＝∠BDF. ∴△ACD∽△BDF. 【尝试应用】(2)如图②，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求线段CF的长． 解：如图②，延长AC交BF的延长线于点T. ∵∠A＝∠CDF＝∠B＝45°， ∴∠T＝90°，TA＝TB. ∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF， ∴∠ACD＝∠BDF. ∴△ACD∽△BDF. 解：如图③，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°， 则∠B＝∠EFD. ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠ADE＝45°. ∴∠BAD＝∠EDF. ∴△ABD∽△DFE. ∵∠EFD＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠EFC＝∠DEC＝135°. 又∠C＝∠C， ∴△EFC∽△DEC． ∴EC2＝FC·CD＝FC×(8＋FC)＝20. 解得FC＝2或FC＝－10(舍去)． ∴CD＝DF＋FC＝10. 基本型与斜交型均有一个公共角，确定公共角后准确找到另一组相等的角即可“离析”出相似三角形，结合方程思维解决问题． 在一条直线上出现三个相等的角，则会存在相似三角形，即“一线三等角”． 判定三角形相似有三个定理，使用最多的是找两对对应角相等，特别是相似的直角三角形，固定直角后，寻找另一组相等的角即可． (2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB ... ...
