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课件网) 北师大（2024）版数学七年级上册 第五章 一元一次方程 5.3.1 几何问题 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： 第 1 页：情境导入 ——— 几何中的 “未知量” 如何求？ 实际问题（配图提示：长方形花坛示意图）： 问题：学校计划修建一个长方形花坛，周长为 40 米，长比宽多 6 米，求花坛的长和宽各是多少米？ 思考：这类几何问题的核心是什么？如何利用我们学过的几何公式建立方程？ 复习回顾：常见几何图形的核心公式（必记）： 长方形：周长\(C=2(a+b)\)，面积\(S=ab\)（\(a\)为长，\(b\)为宽）； 正方形：周长\(C=4a\)，面积\(S=a^2\)（\(a\)为边长）； 三角形：周长\(C=a+b+c\)，面积\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(a\)为底，\(h\)为高）； 圆：周长\(C=2\pi r\)，面积\(S=\pi r^2\)（\(r\)为半径）； 长方体：体积\(V=abc\)（\(a,b,c\)为长、宽、高）。 第 2 页：解题核心思路 ——— 几何问题的方程建模 核心步骤（口诀：“找公式，设未知，建等式，解后验”）： 分析图形：明确题目涉及的几何图形（如长方形、三角形）及已知条件（如周长、边长关系）； 确定公式：选择与未知量相关的几何公式（如求边长用周长公式，求面积用面积公式）； 设未知数：设关键未知量为\(x\)（通常设所求量为未知数，复杂问题设中间量）； 建立等量关系：根据图形性质或题目中的数量关系（如 “长比宽多 6 米”“面积相等”）列出方程； 解方程：用已学的一元一次方程解法求解； 验证与作答：验证解是否符合几何实际（如边长为正数），并规范作答。 关键提醒： 单位要统一（如长和宽均用 “米”，面积用 “平方米”）； 注意图形的 “隐含关系”（如长方形对边相等、正方形四边相等）； 方程的解需满足几何意义（如长度、面积不能为负数）。 第 3 页：实例解析 1——— 周长问题（长方形、正方形） 例 1：长方形花坛问题（情境导入题） 题目：长方形花坛周长 40 米，长比宽多 6 米，求长和宽。 步骤 1：分析图形与公式 ——— 长方形，周长公式\(C=2(a+b)\)； 步骤 2：设未知数 ——— 设宽为\(x\)米，则长为\((x+6)\)米（“长比宽多 6” 转化为代数式）； 步骤 3：建立方程 ——— 周长 = 2×(长 + 宽) → \(2[x + (x+6)] = 40\)； 步骤 4：解方程： 去括号 → \(2(2x + 6) = 40\) → \(4x + 12 = 40\)； 移项 → \(4x = 40 - 12\) → \(4x = 28\)； 系数化为 1 → \(x = 7\)； 步骤 5：求长 → 长\(=x+6=7+6=13\)（米）； 验证：周长\(=2(13+7)=40\)（米），符合题意； 答：花坛的长为 13 米，宽为 7 米。 例 2：正方形边长问题 题目：一个正方形的周长比一个长方形的周长少 8 厘米，长方形的长是 12 厘米，宽是 8 厘米，求正方形的边长。 步骤 1：先求长方形周长 → \(C_{长}=2(12+8)=40\)（厘米）； 步骤 2：设正方形边长为\(x\)厘米，正方形周长\(C_{正}=4x\)； 步骤 3：建立方程（正方形周长 = 长方形周长 - 8）→ \(4x = 40 - 8\)； 步骤 4：解方程 → \(4x=32\) → \(x=8\)； 验证：正方形周长 = 32 厘米，40-32=8 厘米，符合题意； 答：正方形的边长为 8 厘米。 第 4 页：实例解析 2——— 面积问题（三角形、长方形） 例 3：三角形面积问题 题目：一个三角形的底是 10 厘米，面积是 45 平方厘米，求它的高是多少厘米？ 步骤 1：分析公式 ——— 三角形面积\(S=\frac{1}{2}ah\)； 步骤 2：设未知数 ——— 设高为\(h\)厘米； 步骤 3：建立方程（面积 = 45）→ \(\frac{1}{2}×10×h = 45\)； 步骤 4：解方程： 化简 → \(5h = 45\)； 系数化为 1 → \(h=9\)； 验证：面积\ ... ...
