专题训练 构造齐次方程求椭圆的离心率或范围 讲义（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

函数的应用：零点问题、实际应用问题、函数图像问题讲义 考点目录 零点存在性定理与二分法 一次函数与二次函数的零点分布问题 指对幂函数的零点分布问题 实际应用问题 函数图像问题 【知识点解析】 1.函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 2.方程的解与函数的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标，所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. 3.函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 4.用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【例题分析】 考向一 利用零点存在性定理判定零点所在区间 例1．（25-26高一上·北京·期中）函数在下列区间一定有零点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数， 则， 于是， 由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点. 故选：D 例2．（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，故在区间上没有零点； 易得在上单调递减，又， 所以当时，，故在上没有零点，在上没有零点， 又，所以在上有零点. 故选：A. 考向二 用二分法求方程的近似解 例1．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以下一步应考察的区间为. 故选：C 例2．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 例3．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【变式训练】 考向一 利用零点存在性定理判定零点所在区间 变式1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因的定义域为，任取， 由 ， 当时，则，故，且， 此时，即，即函数在上单调递减； 当时，则，故，且， 此时，即，即函数在上单调递增. 又，，当时，， 故函数在上无零点，在上有一个零点. 又，故函数的零点所在区间是. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·海南海口·月考）方程的实数根所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令,在上单调递增，并且有 , 根据零点存在定理，使得 即方程的根所在的区间为. 故选：B. 考向二 用二分法求方程的近似解 变式1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 变式2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（ ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数 ... ...