19.1 二次根式及其性质 课件（共42张PPT）2025-2026学年人教版八年级数学下册

(课件网) 二次根式的概念 人教·八年级数学下册 二次根式 19 情境导入 　　广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域越广. 那么，广播电视塔高 h（单位：km）增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km）是否也会增加到相应的倍数呢？ 实际上，广播电视塔高 h 与广播电视节目信号的 传播半径 r 之间存在近似关系 r = ，其中 R 是地球半径，R ≈ 6 400 km．如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？ 情境导入 探索新知 （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_____. 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征: 思 考 （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2. 如果用含有 h 的式子表示 t ，则 t 为_____． h＝5t2 t2 = t = （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 上面的问题结果分别是： ， ， ． 分别表示 65，a2 + 1， 的算术平方根． ①根指数都为 2； ②被开方数为非负数. 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “ ”称为二次根号. (a ≥ 0) 注意：a 可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥ 0 （4） ； （5） . 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 练一练 （1） ； （2）81； （3） ； (x ≤ 0) 二次根式 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 √ × × √ × 例 1 当 x 满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 解：由 x－2 ≥ 0，得 x ≥ 2. 当 x ≥ 2 时， 在实数范围内有意义. 思 考 当 x 满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 因为 x ≥ 0，所以 x 可以为任意实数. 要使 x ≥ 0，必须 x ≥ 0 . 呢？ 练 习 1. 要画一个面积为 18 cm2 的长方形，使它的长与宽 之比为 3 ∶ 2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长为 3x，宽为 2x。 3x × 2x = 18 6x2 = 18 x = 所以 3x = ，2x = 。 3 2 2. 当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ；（2） ；（3） . 解：（1）因为 a－1 ≥ 0，所以 a ≥ 1. （2）因为 5－a ≥ 0，所以 a ≤ 5. （3）因为 2a + 1 ≥ 0，所以 a ≥ . － 3. 当 a = 5 时， 的值是_____. 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. (a ≥ 0) 二次根式的性质 人教·八年级数学下册 二次根式 19 探索新知 当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 > 0. 当 a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 探 究 根据算术平方根的意义填空： =____； =_____； =____； =____. 3 0.5 0 = a (a ≥ 0) 注意：不要忽略 a ≥ 0 这一限制条件. 这是使二次根式 有意义的前提条件. 例 2 计算： （1） ； （2） . 解：（1） = 1.5； （2） = 22× 5 = 20. (2)用到了幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方：(ab)2 = a2b2 探 究 填空： =____； =_____； =____； =____. 2 0.1 0 = a (a ≥ 0) 当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ = = = = －a (a ＜ 0) 例 3 化简： （1） ； （2） . 解：（1） = = 4； （2） = = 5 . 如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 意义 先开方，后平方 先平方，后开方 a ≥ 0 a 取任何实数 a | a | 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示 ... ...