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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第五章 二元一次方程组 5.4.1二元一次方程与一次函数 第 1 页：封面 标题：5.4.1 二元一次方程与一次函数 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：直角坐标系中两条相交直线 + 二元一次方程组，标注 “方程的解→图象上的点”“方程组的解→图象交点”，突出核心关联 第 2 页：情境导入 ——— 旧知联结新知 回顾旧知： 二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项次数为 1 的整式方程（如 x + y = 5）； 一次函数：形如 y = kx + b（k≠0）的函数，其图象是一条直线； 上节课伏笔：方程组的解对应两直线的交点坐标（如\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)的解 (2,3)，是否是某两条直线的交点？）。 问题设问： 二元一次方程 x + y = 5 的解有无数个（如\(\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)），这些解在平面直角坐标系中是什么图形？ 一次函数 y = -x + 5 的图象是一条直线，这条直线上的点与方程 x + y = 5 的解有什么关系？ 课题引入：今天我们解锁二元一次方程与一次函数的 “隐藏关联”，用数形结合思想打通代数与几何的壁垒！ 第 3 页：探究一：二元一次方程与一次函数的对应关系 一、核心转化（加粗） 任何一个二元一次方程都可以变形为一次函数的形式（y = kx + b）； 反之，任何一个一次函数 y = kx + b 都可以转化为二元一次方程的形式（kx - y + b = 0）。 示例：方程 2x + 3y = 6 → 变形为一次函数：\(y = -\frac{2}{3}x + 2\)； 函数\(y = 3x - 4\) → 转化为方程：3x - y - 4 = 0。 二、解与点的对应（加粗） 二元一次方程的每一个解（\(\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}\)），都对应一次函数图象上的一个点（a, b）； 一次函数图象上的每一个点（a, b），其坐标都是对应二元一次方程的一个解。 验证示例（方程 x + y = 5 函数 y = -x + 5）： 方程 x + y = 5 的解 对应函数图象上的点 \(\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}\) (0, 5)（y 轴交点） \(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\) (2, 3)（直线上一点） \(\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\) (5, 0)（x 轴交点） 结论：二元一次方程的所有解对应的点组成的图形，就是其对应的一次函数的图象（一条直线）。 第 4 页：探究二：二元一次方程组与两个一次函数的对应关系 一、方程组与函数组的转化（加粗） 二元一次方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)，可变形为两个一次函数：\(\begin{cases}y = k_1x + b_1\\y = k_2x + b_2\end{cases}\)（其中\(k_1 = -\frac{a_1}{b_1}\)，\(k_2 = -\frac{a_2}{b_2}\)，\(b_1\)、\(b_2\)为常数，\(b_1\)、\(b_2\)不为 0）。 示例：方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\) → 变形为函数组：\(\begin{cases}y = -x + 5\\y = 2x - 1\end{cases}\)。 二、方程组的解与函数图象交点的对应（加粗） 二元一次方程组的解，是两个一次函数图象交点的坐标（因为交点坐标同时满足两个函数解析式，即满足两个原方程）； 反之，两个一次函数图象交点的坐标，就是对应的二元一次方程组的解。 验证示例： 函数 y = -x + 5 与 y = 2x - 1 的图象交于点 (2, 3)； 方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)，完全对应！ 结论：解二元一次方程组，本质是求两个对应一次函数图象的交点坐标（数形结合的核心）。 第 5 页：例题讲解（利用函数图象解方程组） 例 1：利用一次函数的图象，求方程组\(\begin{cases}x - y = 1\\2x + y = 5\end{case ... ...
