13.3.1.2直角三角形的性质与判定 课件（共28张PPT））-人教版（2024）数学八年级上册

(课件网) 人教版（2024）版数学8年级上册 第十三章 三角形 13.3.1.2直角三角形的性质与判定 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的. 在这个家里，我是永远的老大. 13.3.1.2 直角三角形的性质与判定 生活中的直角三角形 观察下列生活场景，你能发现其中的直角三角形吗？ 1. 墙角的三角区域（墙面与地面垂直） 2. 楼梯的倾斜踏板与竖直栏杆组成的图形 3. 测量用的含30°角的三角尺 直角三角形是特殊的三角形，它既具有三角形的共性，又有自身独特的性质。今天我们就来系统学习直角三角形的性质与判定方法。 一、认识直角三角形 1. 定义 有一个角是直角（90°）的三角形，叫做直角三角形。 其中，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB为斜边，AC、BC为直角边。 2. 表示方法 直角三角形用符号“Rt△”表示，顶点为A、B、C且∠C为直角的三角形，记作“Rt△ABC”，读作“直角三角形ABC”。 3. 基本构成 - 1个直角（90°），2个锐角（互余关系，后续证明）； - 3条边：2条直角边，1条斜边（斜边是直角三角形中最长的边）。 二、直角三角形的性质（1）：两锐角互余 回顾三角形内角和定理，我们来探究直角三角形的锐角关系： 1. 性质推导 已知：Rt△ABC中，∠C=90°。 求证：∠A + ∠B = 90°。 证明：∵ 三角形内角和为180°（定理），∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°。 又∵ ∠C=90°（已知），∴ ∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°。 性质1：直角三角形的两个锐角互余。 2. 简单应用 例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B的度数。 解：根据直角三角形两锐角互余，∠A + ∠B = 90°，∴ ∠B = 90° - 35° = 55°。 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A = ∠B，求∠A、∠B的度数。 解：∵ ∠A + ∠B = 90°且∠A = ∠B，∴ ∠A = ∠B = 45°，此三角形为等腰直角三角形。 三、直角三角形的性质（2）：斜边中线等于斜边的一半 1. 实验探究 操作步骤： 1. 画一个Rt△ABC，∠C=90°； 2. 找到斜边AB的中点D，连接CD（CD为斜边AB的中线）； 3. 用圆规测量CD和AB的长度，观察二者的关系。 实验结论：CD = AB。 2. 定理证明 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB中点。 求证：CD = AB。 证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE。 ∵ D是AB中点，∴ AD=BD。又∵ CD=DE，∠ADC=∠BDE，∴ △ADC≌△BDE（SAS）。 ∴ ∠ACD=∠BED，AC=BE，故AC∥BE，∠CBE=180°-∠ACB=90°。 ∴ △ACB≌△EBC（SAS），∴ AB=CE。又∵ CD= CE，∴ CD= AB。 性质2（斜边中线定理）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 应用示例 例3：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，求斜边中线CD的长度。 解：根据斜边中线定理，CD= AB= ×10=5cm。 四、直角三角形的判定（1）：定义法 1. 判定方法 判定1（定义法）：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形。 几何表示：在△ABC中，若∠C=90°，则△ABC是Rt△ABC。 2. 应用场景 当已知三角形的一个角为90°，或能证明一个角为90°时，可直接判定为直角三角形。 3. 示例 例4：在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，判断△ABC是否为直角三角形。 解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-40°=90°，∴ △ABC是直角三角形。 五、直角三角形的判定（2）：两锐角互余法 1. 判定推导 已知：在△ABC中，∠A + ∠B = 90°。 求证：△ABC是直角三角形。 证明：∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（内角和定理），且∠A + ∠B = 90°，∴ ∠C=90°，故△ABC是直角三角形。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 判定优势 无需直接证明角 ... ...