第十七章 因式分解【章末复习】 课件（共27张PPT）-人教版（2024）数学八年级上册

(课件网) 人教版（2024）版数学8年级上册 第十七章 因式分解 章末复习 整式的乘法 因式分解 公式法 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 特殊形式 相反变形 提公因式法 相反变形 具体方法 一、本章知识框架 因式分解是整式运算的逆向过程，是解决代数式化简、求值、方程求解等问题的重要工具。本章核心知识围绕“是什么、为什么、怎么分”展开，具体框架如下： - 概念本质：把一个多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法互逆） - 基本方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式） - 分解原则：一提（公因式）、二套（公式）、三查（彻底） - 应用场景：代数式化简、求值；解方程；判断整除性等 二、核心知识点梳理 1. 因式分解的概念（基础前提） 定义：把一个多项式表示成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 关键辨析： - 本质是“和差化积”，与整式乘法（积化和差）互为逆运算。例如：$x^2-4=(x+2)(x-2)$（因式分解），$(x+2)(x-2)=x^2-4$（整式乘法）。 - 结果必须满足三个条件：① 是整式的积；② 每个因式都是整式且不能再分解（在有理数范围内）；③ 因式分解前后多项式的值不变（恒等变形）。 - 反例：$x^2+1=x(x+\frac{1}{x})$（不是因式分解，因$\frac{1}{x}$不是整式）；$x^2-4=(x^2-4)$（未分解，只是原式改写）。 2. 提公因式法（首要步骤） 提公因式法是分解因式的“第一招”，无论多项式结构如何，先看是否有公因式，有则先提。 1）公因式的确定：公因式是多项式各项都含有的公共整式，需从“系数、字母、字母指数”三方面分析： - 系数：取各项系数的最大公约数（符号统一，通常取正）； - 字母：取各项都含有的相同字母； - 字母指数：取相同字母的最低次幂。 示例：多项式$6x^3y^2-9x^2y^3+3x^2y$的公因式：系数最大公约数是3，相同字母为$x$、$y$，$x$的最低次幂是2，$y$的最低次幂是1，故公因式为$3x^2y$。 2）提公因式的法则：$ma+mb+mc=m(a+b+c)$（$m$为公因式） 3）注意事项： - 提尽公因式：确保提公因式后，括号内的多项式不再有公因式； - 首项为负先变号：若多项式首项系数为负，先提取负号，使括号内首项为正（注意括号内各项都要变号）。例如：$-2x^2+4xy=-2x(x-2y)$； - 常数项的公因式：不要忽略常数项的最大公约数； - 提公因式后项数不变：提取公因式后，括号内的项数与原多项式项数一致，若某项与公因式相同，提取后该项为1（不能漏写）。例如：$x^2-xy+x=x(x-y+1)$（此处“+1”不可省略）。 3. 公式法（核心方法） 提公因式后，若括号内的多项式符合平方差公式或完全平方公式的形式，可继续用公式分解。 1）平方差公式 - 公式形式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ - 适用条件：多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反（一正一负）。 - 关键：找准“$a$”和“$b$”———$a$、$b$可以是单独的字母、数字，也可以是单项式或多项式（把复杂部分看作一个整体）。 - 示例：① $4x^2-9y^2=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$；② $(x+2)^2-16=(x+2)^2-4^2=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)$。 2）完全平方公式 - 公式形式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（即“首平方、尾平方，首尾积的2倍在中央，符号看前方”） - 适用条件：多项式是三项式，其中两项能写成平方的形式（且符号相同），第三项是这两项底数乘积的2倍（符号可正可负）。 - 示例：① $x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3)^2$；② $4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$；③ $(a-b)^2+4(a-b)+4=(a-b)^2+2\cdot (a-b)\cdot 2+2^2=(a-b+2)^2$。 4. 因式分解的一般步骤（分解彻 ... ...