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课件网) 第八章 平面解析几何 第八节 直线与椭圆的位置 职教高考一轮复习 直击高考 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 直线和椭圆的位置关系 能灵活运用直线与椭圆方程及性质解决有关问题 (30) (30) (30) (13) (22) (30) 选择题 填空题 解答题 本节解答题类型，内容为直线与圆锥曲线的位置关系，难度为中等偏难． +抛物线 +直线 +向量平行 +双曲线 +渐近线 +中点 方程 +抛物线 +直线 +垂直 +直线 +平行四边形 离心率 知识梳理 1．直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系有：_____、_____和_____． 联立直线和椭圆的方程得 化为一个关于x或y 的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： 相交 相切 相离 ①Δ＞0 直线与椭圆相交； ②Δ＝0 直线与椭圆相切； ③Δ＜0 直线与椭圆相离． 2．弦长 直线l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长．求弦长的方法通常是设出直线与椭圆的交点坐标，但并不求交点坐标，联立直线与椭圆方程组，得到关于x或y的一元二次方程，运用韦达定理求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． 或|AB|＝ . = 消y 消x 典例分析 【知识要点1】直线与椭圆的位置关系 【例1】 已知直线l：y＝x＋m和椭圆C：x2＋4y2＝4.求：当m分别为何值时，直线l与椭圆C相交、相切、相离？ 【解析】联立直线和椭圆的方程得 消去y， 得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， ∴Δ＝64m2－80m2＋80＝16(5－m2). ∴当Δ＝16(5－m2)>0，即－
或m<－ 时，直线l与椭圆C相离． 【变式训练1】 已知直线x＋2y＝m与椭圆 ＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( ) A．2 B．± C．±2 D．±2 C 【提示】 由 消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0. 因为直线x＋2y＝m与椭圆 ＋y2＝1只有一个交点， 所以Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，解得m＝±2 .故选C. 【知识要点2】 椭圆中的弦长问题 【例2】 已知斜率为1的直线过椭圆 ＋ ＝1的右焦点F2，并交椭圆于A，B两点．求：(1)弦长|AB|；(2)△ABF1的面积． 【解析】(1)∵a2＝3，b2＝2，∴c2＝3－2＝1， ∴F1(－1，0)，F2(1，0)， ∴直线AB的方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线和椭圆的方程得 消去y，得5x2－6x－3＝0， ∴x1＋x2＝ ，x1·x2＝－ ， ∴|AB|＝ ＝ ＝ . (2)△ABF1中，AB边上的高即 点F1到直线x－y－1＝0的距离 d＝ ＝ ， ∴ |AB|·d＝ × × ＝ . 还可以怎样求面积 【知识要点2】 椭圆中的弦长问题 【例2】 已知斜率为1的直线过椭圆 ＋ ＝1的右焦点F2，并交椭圆于A，B两点．求：(1)弦长|AB|；(2)△ABF1的面积． 还可以怎样求面积 【变式训练2】已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，右焦点为(2 ，0)，斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2).(1)求椭圆的标准方程；(2)求△PAB的面积． 椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，中点→垂直定m，弦长为底，P到直线距离为高， 得面积为4.5 【变式训练2详解】 解：(1)由已知得c＝2 ， ＝ ，解得a＝2 . 又b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，直线与椭圆的交点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)， 【知识要点3】 椭圆中的弦中点问题 【例3】 已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝ ，|PF2|＝ .(1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l过椭圆C内一点M(－2，1)，并交椭圆C于A，B两点，且A，B两点关于点M对称，求直 ... ... 
