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课件网) 培优增分 数列中的构造问题 限时规范训练 内容索引 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解． ◆命题解读 题型一 形如an＋1＝pan＋f(n)型 角度1 an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0) 例1 已知数列{an}满足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，则an＝_____． 解析：设an＋1＋λ＝4(an＋λ)， 即an＋1＝4an＋3λ. 又an＋1＝4an＋3，故3λ＝3，得λ＝1， 故an＋1＋1＝4(an＋1)， 则数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2， 公比为4的等比数列，故an＋1＝2·4n-1， 即an＝2·4n-1－1. 答案：2·4n-1－1 角度2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) 例2 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1，a1＝3，则数列{an}的通项公式为_____． 解析：设an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)， 即an＋1＝2an＋λn＋μ－λ， 又an＋1＝2an－n＋1， 故得λ＝－1，μ＝0， 即an＋1－(n＋1)＝2(an－n)， 所以数列{an－n}是首项为2，公比也为2的等比数列，则an－n＝2n，an＝2n＋n. 答案：an＝2n＋n 角度3 an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) 例3 在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝_____． 解析：将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘以，得， 令bn＝，则bn＋1＝2bn＋， ∴bn＋1＋＝2. 又b1＋，∴bn＋·2n-1， ∴bn＝，则an＝－3n-1. 答案：－3n-1 反思感悟 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q (p≠0，1，q≠0) 引入参数c，构造新的等比数列{an＋c} an＋1＝pan＋qn＋c (p≠0，1，q≠0) 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn (p≠0，1，q≠0，1) 等式两边同除以qn+1，构造新的等比数列 { 跟踪训练1 (1)(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3第8题变式)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2)，则数列{an}的通项公式为_____． 解析：法一：由an＝an－1＋2(n≥2)得an－1＝an－2＋2(n≥3)，所以an－an－1＝(an－1－an－2)(n≥3)．因为a1＝1，a2＝，所以a2－a1＝，所以an－an－1＝n-2(n≥2)，所以由累加法可得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋1＝－3n-1＋4(n≥2)， 又a1＝1满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝－3n-1＋4. 法二：设an＋λ＝(an－1＋λ)，即an＝λ，所以－λ＝2，即λ＝－4，所以an－4＝(an－1－4)．又a1－4＝－3，所以an－4＝故数列{an}的通项公式为an＝－3n-1＋4. 答案：an＝－3n-1＋4 (2)(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3第7题变式)已知在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n+1，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____． 解析：将an＋1＝3an＋2·3n+1两边同时除以3n+1，得，∴＋2，又＝1，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1， ∴an＝(2n－1)·3n. 答案：an＝(2n－1)·3n (3)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n－1，则数列{an}的通项公式为_____． 解析：法一：由an＋1＝an＋n－1得an＝an－1＋n－2(n≥2)，所以an＋1－an＝(an－an－1)＋1(n≥2)．令bn＝an＋1－an，则bn＝bn－1＋1(n≥2)，即bn－2＝(bn－1－2)．又a2＝，所以b1＝a2－a1＝，所以bn－2＝·n-1，即bn＝－5n＋2＝an＋1－an，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋1＝2n－1－5＋－6，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋－6. 法二：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝(an＋An＋B)，则an＋1＝B，所以A＝－2，B＝6，即an＋1－2(n＋1)＋6＝(an－2n＋6)．又a1－2＋6＝5，所以an－2n＋6＝5·n-1，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋－6. 答案：an＝2n＋－6 题型二 形如an＋1＝pan＋qan－1型 例4 ... ...
