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课件网) 第8讲 直线与圆锥曲线 聚焦·必备知识 突破·核心考点 限时规范训练 1 2 3 内容索引 1．理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题的解法． ◆课标要求 聚焦 必备知识 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有_____、_____、_____；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 相交 相切 相离 ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，当Δ＞0时，直线l与曲线C_____；Δ＝0时，直线l与曲线C_____；Δ＜0时，直线l与曲线C____． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的_____平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的_____平行或重合． 相交 相切 相离 渐近线 对称轴 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝或=_____或 |AB|＝＝_____，k为直线的斜率且k≠0. 1．在圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，在椭圆、双曲线中长为，抛物线中长为2p. 2．过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－；同理，双曲线中kPA·kPB＝(以上焦点在x轴上)． 3．若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＝1；同理，在双曲线中为＝1(以上焦点在x轴上)． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( ) (2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．( ) (3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) √ √ × × 2．直线y＝kx＋1与椭圆＝1的位置关系为( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 解析：B 由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，而(0，1)在椭圆＝1内，故直线与椭圆相交． B 3．已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为( ) A． B． C． D． 解析：D 法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵点A，B是双曲线C上的两点， ∴＝1， 两式相减得， D ∵M(3，2)是线段AB的中点， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， ∴， ∴kAB＝. 法二：由kAB·kOM＝， 得kAB＝. 4．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝_____． 解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝. 答案： 例1 (1)(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值可以为_____． 突破 核心考点 直线与圆锥曲线的位置关系 答案：(答案不唯一) 解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±. (2)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为_____． 解析：当直线的斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点． 当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立， 消去x可得y2－＝0， ∵直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点， ∴Δ＝－32＝0， ∴k＝或－1. 综上，k的值为0 ... ...
