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课件网) 第1章 1.3 几何证明举例 第2课时 三角形内角和定理及其推论 青岛版（2024）数学八年级上册 1.探究用多种方法证明三角形内角和定理，知道作辅助线是证明中的重要方法. 2.知道什么叫推论，会证明三角形内角和定理的两个推论. 3.利用三角形内角和定理探索并掌握直角三角的性质定理和判定定理. 学习目标 课堂引入 上学期，我们从基本事实出发说明了“三角形的内角和等于 180°”的正确性.怎样证明它呢？ 一、三角形内角和定理 问题1 证明：三角形的内角和等于180°. 已知：如图所示，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 提示 方法一 如图①，过点A作PQ∥BC， 则∠1=∠B，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 因为∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义)， 所以∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换). 方法二 如图②，过点C作CE∥AB， 则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠B+∠BCE=180°(两直线平行，同旁内角互补). 因为∠BCE=∠BCA+∠1， 所以∠B+∠BCA+∠1=180°(等量代换)， 所以∠B+∠BCA+∠A=180°(等量代换). 方法三 如图③，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB. 所以∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)， ∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等). 因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义)， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换). 知识梳理 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于_____. 180° 例1 如图，已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗？你能运用三角形内角和定理证明吗？ 解 五边形的内角和等于540°.证明如下： 如图，连接AC，AD.由三角形内角和定理可知， ∠1+∠2+∠B=180°， ∠3+∠4+∠5=180°， ∠6+∠7+∠E=180°， 所以∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠E=540°. 又因为∠BAE=∠1+∠5+∠7，∠BCD=∠2+∠3，∠CDE=∠4+∠6， 所以∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°. 所以五边形的内角和等于540°. 跟踪训练1 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D的度数. 解 因为DE⊥AB，所以∠FEA=90°. 因为在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°， 所以∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°. 又因为∠CFD=∠AFE， 所以∠CFD=60°. 所以在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°， 所以∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°. 二、三角形内角和定理的推论 问题2 观察如图，若CE∥AB，则三角形的一个外角∠ACD和与它不相邻的两个内角∠A，∠B之间有怎样的数量关系？ 提示 因为CE∥AB， 所以∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B. 所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B. 知识梳理 1.由基本事实或定理直接推出的真命题叫作_____. 2.三角形内角和定理的推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 推论 例2 (课本P16例3)如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上的一点.过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D.求证：∠FDE=∠C. 证明 因为DE⊥AB，DF⊥BC(已知)， 所以∠DEB=90°，∠FDC=90°(垂直的定义). 因为∠EDC是△EBD的外角(已知)， 所以∠EDC=∠B+∠DEB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). 因为∠EDC=∠FDE+∠FDC(已知)， 所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB(等量代换). 所以∠FDE+90°=∠B+90°(等量代换). 所以∠FDE=∠B(等式的基本性质). 因为∠B=∠C(已知)， 所以∠FDE=∠C(等量代换). 跟踪训练2 如图，∠A=18°，∠B=42°，∠D=28°，求∠AED的度数. 解 因为∠ACD是△ABC的一个外角， 所以∠ACD=∠A+∠B， 因为∠A=18°，∠B=42°， 所以∠ACD=60°. 因为∠AED是△CDE的一个外角， 所以∠AED=∠ACD+∠D， 因为∠D=28°，∠ACD=60°， 所以 ... ...
