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课件网) 第八章 平面解析几何 第十节 直线与双曲线位置 职教高考一轮复习 直击高考 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 位置关系 能灵活运用直线和双曲线的位置解决有关问题 (25) (30) (20) (19) (30) (19) 选择题 填空题 解答题 本节为解答题类型，直线与双曲线的位置关系，难度为中等偏难． 离心率 +椭圆 +渐近线 离心率 实轴长 +圆 +渐近线 离心率 知识梳理 当直线与双曲线的渐近线不平行时，联立二者方程得 化为关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： 相交 相切 相离 ①Δ＞0 直线与双曲线相交；②Δ＝0 直线与双曲线相切； ③Δ＜0 直线与双曲线相离． 当直线与双曲线的渐近线平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，尽管此时只有一个解，但直线与双曲线是相交而不是相切． 1．直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系有：_____、_____和_____． 2．椭圆的标准方程和几何性质 直线l交双曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长． 求弦长的方法仍然设而不求，而是联立方程组消元得到关于x或y的一元二次方程，运用韦达定理求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列公式求出弦长． |AB| 【知识要点1】 双曲线中的弦长问题 【例1】 过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1，作倾斜角为 的弦AB，求弦AB的长． 典例分析 【变式训练1】 已知直线斜率为1，被双曲线 － ＝1截得弦长为4，求直线在y轴的截距． 解：设直线l的方程为y＝x＋m，直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由 得x2＋6mx＋3(m2＋2)＝0， Δ＝36m2－12(m2＋2)>0，得m2>1. 由韦达定理得x1＋x2＝－6m，x1x2＝3(m2＋2). 又y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，∴y1－y2＝x1－x2， ∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2 ＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2[36m2－4×3(m2＋2)]. ∵|AB|＝4，∴36m2－12(m2＋2)＝8. ∴3m2＝4，解得m＝± ，满足题意． ∴直线l在y轴上的截距为± . 【知识要点2】 双曲线中的弦中点问题 【例2】 已知双曲线C：x2－ ＝1，经过点M(1，1)能否作直线 与双曲线C交A，B两点，且点M是线段AB的中点？若存在直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由． ②－①得 － ＝ ，化简得2＝ · ， 即2＝ ·k，解得k＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1， 由 消去y得2x2－4x＋3＝0， 由此可得Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，这说明这样的直线不存在． 关于是否存在的问题，注意利用相关条件检验说明理由 【变式训练2】已知直线l与双曲线x2－ ＝1交于A，B两点，且弦AB的中点为点M(2，1)，求直线l的方程． 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵点M为AB的中点，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 由点A，B在双曲线上，得 由②－①，得9( － )＝ － ， 化简得9＝ · ， ∴kAB＝ ＝9× ＝9× ＝18， 由点斜式可得直线l的方程为y－1＝18(x－2)，即18x－y－35＝0. 注意点差法应用！ 【知识要点3】 双曲线中的垂直问题 【例3】已知双曲线的右焦点为F ，渐近线方程为y＝± x. (1)求双曲线的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，则当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 【解析】 (1)设双曲线的方程为 － ＝1. 因为右焦点为F ，所以c＝ . 因为渐近线方程为y＝± x，所以 ＝ . 又因为c2＝a2＋b2，解得a2＝ ，b2＝1， 所以双曲线的标准方程为 －y2＝1. 2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，则当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 【变式训练3】已知直线l的斜率为－1，在y轴上的截距为1，且与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，求证： ⊥ .(O为坐标原点) 由 消去y得x2＋x－1＝0， 证明：由题意得直线l的 ... ...
