中小学教育资源及组卷应用平台 第3讲 乘法公式 一、核心知识点 （一）平方差公式 1. 公式推导（依据多项式乘法法则） （中间两项为同类项，相互抵消，最终得平方差形式） 2. 公式核心内容 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 符号表示： 结构特征： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（“相同项”），另一项互为相反数（“相反项”）； 右边：相同项的平方减去相反项的平方（注意“相同项 - 相反项 ”，顺序不可颠倒）。 3. 公式拓展与逆用 底数拓展：相同项和相反项可表示数字、字母、多项式（整体思想）： 示例：； 示例：（将看作整体）。 逆用（因式分解基础）：，用于将平方差形式转化为两个二项式的积。 示例：。 （二）完全平方公式 1. 公式推导（依据多项式乘法法则） 2. 公式核心内容 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。 符号表示： 和的平方： 差的平方： 结构特征： 左边：一个二项式的平方（两项的和或差）； 右边：三项式，包含“首项 + 末项 + 中间项（2×首项×末项）”，中间项的符号与左边二项式的符号一致。 3. 公式拓展与变形 底数拓展：首项、末项可表示数字、字母、多项式（整体思想）： 示例：； 示例：。 核心变形（高频考点）： ； ； ； 。 逆用（因式分解基础）： ； （完全平方公式逆用，用于判断完全平方式）。 （三）两个乘法公式的对比 公式类型 左边结构 右边结构 关键区别 示例 平方差公式 两个二项式相乘（同+反） 两项：平方差（同 - 反 ） 无中间项，右边是两项差 完全平方公式 一个二项式的平方（和/差） 三项：平方和+2倍积（和）/ 平方和-2倍积（差） 有中间项，右边是三项式 ； 二、常见易错知识 1. 平方差公式使用条件混淆 错误表现： 对非“同项+反项”的二项式相乘误套平方差公式； 颠倒右边“平方差”的顺序，写成“相反项 - 相同项 ”。 示例1：错将用平方差公式计算（错误，无完全相同的项）； 示例2：错将计算为（错误，顺序颠倒）。 正确分析： 平方差公式的核心前提是“两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数”，缺一不可； 右边固定为“相同项的平方 - 相反项的平方”，需先明确“相同项”和“相反项”再计算。 正确计算：。 2. 完全平方公式漏加/漏减中间项 错误表现： 忽略中间项“2ab”，直接写成“首项 + 末项 ”； 中间项的系数漏乘2。 示例1：错将计算为（错误，漏加中间项）； 示例2：错将计算为（错误，中间项系数应为）。 正确分析： 完全平方公式右边是“三项式”，必须包含“首项 + 末项 + 2×首项×末项”，中间项的系数“2”是关键，不可遗漏； 记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”。 正确计算：；。 3. 完全平方公式中间项符号错误 错误表现：中间项的符号与左边二项式的符号不一致。 示例：错将计算为（错误，左边是“差”，中间项应为负）。 正确分析： 中间项的符号由左边二项式的符号决定：左边是“和”，中间项为正；左边是“差”，中间项为负； 末项始终为正（平方的非负性）。 正确计算：。 4. 底数为多项式时，未正确运用整体思想 错误表现：将多项式拆分开计算，忽略“整体平方”或“整体相乘”的原则。 示例1：错将计算为（错误，未按整体平方展开）； 示例2：错将计算为（错误，无完全相同的整体项）。 正确分析： 当底数为多项式时，先将其看作一个“整体”，再套公式，展开后再去括号； 平方差公式需确保整体上有“相同项”和“相反项”，否则不能直接套用。 正确计算：； 正确计算：（无法用平方差公式，直接多项式乘法）。 5. 混淆“完全平方和”与“平方和” 错误表现：认为，忽略中间项。 示例：错将计算为（错误，实际）。 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
