初中数学二轮专题几何模型提优讲义——阿氏圆模型

初中数学几何模型提优讲义———阿氏圆模型 一.模型名称由来 【模型背景】 “”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当值为1时，即可转化为“”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点在直线上运动和点在圆上运动。其中点在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 【模型由来】 “阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点、，则所有满足（）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 二.模型建立 如图1所示，的半径为，点、都在外，为上一动点，已知，连接、，则当“”的值最小时，点的位置如何确定？ 模型解读：最早见“”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“”，故如何确定“”的大小是关键，如图2，在线段上截取使，则可说明与相似，即。故本题求“”的最小值可以转化为“”的最小值，其中与与为定点，为动点，故当、、三点共线时，“”值最小。如图3 三、“阿氏圆”模型破解策略 【破解策略详细步骤解析】 第一步：连接动点于圆心（一般将含有的线段两端点分别与圆心相连），即连接、； 第二步：计算出线段与及与的线段比，找到线段比为的情况，如例子中的 第三步：在上取点，使得；（核心关键步骤） 第四步：连接，与的交点即为点 【核心步骤另单独解析】 回顾图2，在上取点构建的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。 将图2中单独提取出，如图4，上色渲染的，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，与有公共角，且（在某些角度处理策略中，“母子型相似”的主要特征是、） (构造的点) （构造出后可以得到，进而推出，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定的位置后，连接，求出长度“阿氏圆”即可破解） 四、“阿氏圆”典型例题讲解 例1：如图1，在中，，，，半径为2，为圆上一动点，连接、，求的最小值。 解答：如图2，连接 ，因为 ，，，简单推算得 ，，而题目中是求“”其中的“”，故舍弃在 上取点，应用“”，所以在 上取一点 ，使 ，则有 ，无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，（思考：若求呢？） （大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”） 例2：已知扇形 中，，，，，点 是弧 上一点，求 的最小值. 解答：首先连接 ，因为 ，，，所以 、，题目求的是“”，其中的“”与之相关的是 ，故在 上取点，考虑到是 ，故在 上取点 ，使 ，则有 ，无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，.（思考：若求呢？） 例3：如图1，已知 ，，， 的半径为4，点 是 上的动点，连接 、，则 的最小值为？ 解答：首先连接 ，因为 ，，，所以 、，题目求的是“”，其中的“”与之相关的是，故在 上取点，故在 上取点 ，使 ，则有，无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，．（思考：若求呢？） 例4：如图1，在 中，，，，点 为 内一动点，且满足 ，则的最小值？ 解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“”更加确定此题有隐藏圆，如图2， 在 的 上，下面步骤完全与上相同，故略。答案： 例5：如图1，在 中，， ... ...