第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试试题（PDF版，含答案）

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 高一　第1试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.给出以下五个函数: 3 1 ①y=|x|; ②y=log2|x|; ③y= ;x ④y=x 2 ; ⑤ | | y= 3x. 其中,值域是一切实数的是( ) (A)②,④. (B)①,②. (C)③. (D)②. 2.已知p,q,a,b,c∈R,并且2a=p+q,bc=pq≠0,则关于x 的方程bx2-2ax+c=0 的根的情况是( ) (A)无实根. (B)有两个相等实根. (C)有两个不等实根. (D)有两个实根. 3.Ifpolynomial2x3-5x2+1wasdividedbyx-2,theremainderwilbe( ) (A)3. (B)-3. (C)5. (D)-5. 4.在平面直角坐标系xOy中,半径为 2的圆的圆心从原点O 连续地向右平移到点A(1,0), 在这过程中,圆面内(含边界)包含的整点(横、纵坐标都是整数的点)的个数不可能是( ) (A)6. (B)7. (C)8. (D)9. 5.当0-log1 (2+x)的解是( )a ( ) 1A x > . (B) 4 2 -20. B logsinC sinB >0. ( ) cosAC logcosC ( cosA cosB >0. D )logcosC sinB >0. 10.如图1,ABCD GHEF是棱长为a的正方体,点M 和N 分别是 △BEH 和 △HEG 的内心,则线段MN 的长是( ) ( 1A) a. ( 2 2 B ) ( )( 5a. C 2-1 )a. (D)(2- 2)a. 二、A组填空题(每小题4分,共40分.) 1 5 11.设a= ,4 b=log9 , 3 c=log8 3 ,用“>”连结a,b,c,则是 . 图1 12.函数y=2x-1 与y=21-x 的图象关于直线 对称. 13.若M、N、P、Q 分别是正方体ABCD A1B1C1D1 的棱D1C1、BC、A1D1、DC 的中点,则 MN 与PQ 所成角的正弦值是 . (1) 1 , (1 1 1 114.若函数f 则 … ()x =x2+1 f 2013)+f(2012)+f(2011)+ +f(2)+f 1 +f(2) +…+f(2011)+f(2012)+f(2013)的值是 . m2 1 π 15.已知sinθ += ,则4 m cosθ 的取值范围是 | | ( +6) . 3 16.已知f(x)= ,则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(lg2)+f(lg5)= . 3x + 3 2 17.GivensetA={x|x2+2x+3+a2=0,x ∈R},setB={x|2x +2x+3 ≥a,x ∈R}.If A ∪B=R,thenthevaluerangeoftherealnumberais . 18.已知点C(3,1),点 A 在直线y=x 上,点B 在x 轴上,则 △ABC 的周长的最小值是 . 19.在 △ABC 中,a,b,c分别是角A、B、C 的对边,若a+c=2b,B=30°,并且 △ABC 的面积 3 为 ,则 2 △ABC 的外接圆半径的长是 . 20.若不等式4x-1-m·2x +m >0对一切x ∈ [2,4]都成立,则实数m 的 取值范围是 . 三、B组填空题(每小题8分,共40分.) 21.如图2所示,圆O 的直径AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过C 作圆O 的 图 切线l,从A 作l的垂线AD,垂足为D, 2 交圆O 于E,则AE= ,CD = . 22.函数 f(x)= (sinx +cosx)2 +2(sinx +cosx)的最小值是 ,最大值是 . 1 |x-1| 23.已知函数f(x)=-( ) ,g(x)2 =x2 -6x +7,则这两个函数的值域的交集是 .若在集合A 中,对任意a ∈A,总存在b使得g(a)=f(b)成立,则A= . 24.已知xOy坐标平面内的点A(1,1)、B、C、D、E,若B在曲线y= x 上,C、D、E在正x轴上, 并且OC