湘教（2024）八上5.1 直角三角形的性质定理（2）（课件+教案+学案+大单元整体教学）

(课件网) 第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理（2） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 01 经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。 02 能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题，在运算和应用中体会性质的实用价值。 03 02 新知导入 回顾 直角三角形的性质和判定定理是什么？ 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 03 新知探究 任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度. 任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D. 任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合. 03 新知探究 思考 在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？ BC=AB 思考：你能通过几何语言进行证明吗？ 03 新知探究 已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 证明：取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD， 于是△DBC是等腰三角形. 由于∠ACB=90°，∠A=30°， 因此∠B = 60°. 于是△DBC是等边三角形， 因此BC=BD=AB. 03 新知探究 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴ BC=AB. 03 新知探究 思考 可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试. 答案:可以.下面我们用三角尺验证:如图所示，把两个含30°角的三角尺较长的直角边拼在一起，可以构成等边三角形，该等边三角形是轴对称图形，较长的直角边所在的直线为该等边三角形的一条对称轴。这时，两条较短的直角边之和为等边三角形的一边，而斜边也为等边三角形的一边，所以30°角所对的直角边等于斜边的一半. 03 新知探究 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30√("3" )海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗 (已知√("3" )≈1. 732) 例2 思考：什么情况轮船会触礁？ 当点A到轮船航线所在直线的距离大于20海里时不会触礁. 03 新知探究 分析：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D。AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 03 新知探究 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D. 在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°， ∴AD=AO=×30=15≈25. 98(海里). ∵AD ≈ 25. 98 > 20， ∴轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 03 新知探究 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB， 求证：∠A = 30°. 例3 证明:如图，取斜边AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD =AB=BD. ∵BC=AB，∴BC=BD=CD， 即△BDC为等边三角形. ∴∠B = 60°. ∵∠A+∠B=90°，∴∠A=90°∠B=30° 03 新知探究 如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF 因为∠BCA=90°，BC=CF， 所以AC垂直平分BF， 于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又BC=AB ，BC=CF=BF， 方法二 03 新知探究 所以BF=AB， 因此BF = AB = AF，即△ABF是等边 ... ...