第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第2试试题（图片版，含答案）

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 高二　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.已知函数y=f(x)是偶函数,且f(4+x)=f(4-x),则函数f(x)( ) (A)是周期为2的函数. (B)是周期为4的函数. (C)是周期为8的函数. (D)不是周期函数. 2.两个非零向量a 和b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量a 和b的夹角等于( ) (A)60°. (B)90°. (C)120°. (D)150°. 3.若函数 5y= x2+ax+a2+ a-2 有4个单调区间,则实数a 的取值范围是( )2 (A)(-∞,-4) 2 2 . (B)(-4, ). (C)( ,3 3 +∞). ( 2D)[-4,3]. π 4.当0cos(sinx). (B)sin(cosx)0,b>0)与曲线x2+y2-2x+6y+1=0相交于A、B 两点, 1 1 若AB=6,则a + 的最小值是( ) b (A)22. (B)3. (C)32. (D)3+22. 2cosx 3a 6.若关于x 的不等式1 -< <2有解,则参数a 的取值范围是( )2a-cosx ( )( 4A - ,7 0)∪ (0,4). (7 B)( 4 3- , ,7 0)∪ (0 5). ( 3 3C)(- , , ( )5 0)∪ (0 5). D ( 3- ,5 0)∪ (0,47). 7.已知集合A={(x,y)|y=-x2},B={(x,y)|(x-5)2+(y-1)2=4},M ∈A,N ∈ B,则|MN|min=( ) (A)25-2. (B)2. (C)23-2. (D)23+1. 8.已知椭圆C 的两个焦点分别是F1(-1,0)和F2(1,0),且C 与直线x+y-3=0有公共点, 则C 的离心率的最大值是( ) (A) 6 . () 5 ( ) 6B . C . (D) 5 12 5 6 10. 9.LetABCD beatetrahedronwithedgelength7,13,18,27,36,and 41.IfAB=41,thenCD=( ) (A)7. (B)13. (C)18. (D)27. 10.在平面直角坐标系中,过点A(2,3)且与单位圆O 相切的圆的圆心轨迹是( ) (A)圆. (B)椭圆. (C)双曲线. (D)抛物线. 二、填空题(每小题4分,共40分.) 11.已知关于x 的函数y=lg[x2 +2(a+1)x +1]的定义域是 R,则a 的取值范围是 . 2 12.已知f(x)=x+ ,则函数y=f(f(x))的单调递增区间是x . 13.若关于θ的不等式cos22θ-2cos2θ+4 π -m2 <0的解集为{θθ ≠kπ+ ,2 k∈Z},则实 数m 的值是 . 1 1 x 1 14.Supposef(x) - =2x 5+lg , 1 x thenthesolutionsetfortheinequalit+ + yf[x(x-2)] 1 < 5 wilbe . → 15.已知直线l:y=kx-1与圆C:x2+y2-8x-6y+21=0交于A、B 两点(C为圆心),若CA → ·CB=0,则k= . 16.已知三棱锥A BCD 的侧棱长都是6,且AB ⊥AC,AB ⊥AD,∠CAD=60°,点E、F 分 CE AF 别在AC、AD 上, = =2,则EA FD VF BDE = . 2k 17.若关于x 的方程3cos2x- =25有解,则参数k的取值范围是cosx . 18.已知抛物线C:x2=4y的焦点是F,直线l与C 交于A、B 两点,若AF=2,BF=5,则满足 条件的直线l的条数是 . 19.有一个正四棱锥V ABCD,侧面都是边长为1的正三角形,设点P在侧面VAB的边AB的 高线上,且点P 到点V 与到边AB 的距离比为1∶3,M 是边BC 的中点,则在棱锥表面上从点P 到 点M 的最短距离是 . 20.以棱长为1的正方体的一个顶点,以及与它不共面的三个面的中心组成一个三棱锥,则这 个三棱锥的体积是 . 三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 1 已知函数y=f(x)=2- ,数列{an}满足:x a1=2 ,an+1=f(an). (1) b 证明:存在一个等差数列{bn},使得当n >1时,a n n = 成立;bn-1 (2)求{an}的通项公式. 22.(本题满分15分) 已知四棱锥P ABCD 的底面是正方形,PD=AD=4,PD 与底面成60°角,点H 在AD 上, 且PH ⊥ 底面ABCD,点M 是PC 的中点.求: (1)DM 与BC 所成角的余弦值; (2)直线PC 与HB 间的距离. 23.(本题满分15分) x2 ( 在平面直角坐标系xO 中,曲线C 的方程是 | y|-1)2 y + =1,内接于曲线C 的矩形D 的9 4 边都平行于坐标轴.(注:矩形D 的顶点在曲线C 上,且矩形D 的边上的任意一点(x0,y0)在曲线C 内,即 x2 (|y 20 0|-1) 9 + 4 ≤1. ) (1)求矩形D 的周长L 和面积S 关于x 的函数表达式; (2)求周长L 的最大值. 高二 第 ... ...