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课件网) 第八章 平面解析几何 第十一节 抛物线 职教高考一轮复习 直击高考 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 抛物线的概念、标准方程和性质 掌握抛物线的概念、标准方程和性质 (30) (15) (21) (30) (17) (30) 选择题 填空题 解答题 本节抛物线定义方程及性质，主要以选择题、填空题的形式出现基础题居多． 方程 +椭圆 +直线 确定p 焦点 定p +圆 +直线 焦准距 +椭圆 +直线 知识梳理 1．抛物线的定义 (1)平面上与一个定点F和一条不经过点F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． (2)如图示，设直线l为准线， 点F为焦点，点P为抛物线上一点， 点P到直线l的距离为|PM|，则有|PM|＝|PF| 其中点F到直线l的距离|KF|＝p. p 2．抛物线的标准方程和几何性质 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0) 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 结合图象记忆 (1)在抛物线的几何性质中，p—焦点到准线的距离，p恒为正． (2)抛物线的标准方程有四种形式，利用数形结合思想分析总结． 如图可得焦点为 ， 准线方程为x＝ . 注意事项 (3)抛物线的性质都是通过标准方程体现的，在解题前一定要注意先化为标准方程，如2x2＝5y要先化为x2＝ y. (4)设点P(x，y)为抛物线上任意一点，则有|PF|＝|x|＋ (焦点在x轴上)或|PF|＝|y|＋ (焦点在y轴上). 数形结合，|PF|化归为点到准线距离 典例分析 【知识要点1】抛物线的定义 【例1】 已知抛物线y＝ x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( ) A． B．5 C．6 D．4 B 【解析】抛物线的标准方程为x2＝4y，由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离即点A到准线y＝－1的距离，即4－(－1)＝5.故选B. y＝－1 【变式训练1】 (1)已知在第一象限内的点P在抛物线y2＝12x上，且它到焦点的距离为7，则点P的坐标为( ) A．(4，4 ) B．(3，6) C．(2，2 ) D．(1，2 ) A (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)上第一象限内的点M的横坐标为8，点M到焦点F的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____． 4 提示：化归为到准线距离 提示：求p 【知识要点2】 抛物线的标准方程 【例2】 若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到准线的距离为4，则该抛物线的标准方程为( ) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x C 【解析】y2＝2px上一点P(2，y0)到准线的距离为4， 由抛物线定义可知2＋ ＝4，∴ ＝2，即p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝8x，故选C. 【变式训练2】 (1)抛物线顶点在原点，准线方程为x＝3，则该抛物线的标准方程为( ) A．y2＝－12x B．y2＝－6x C．y2＝12x D．y2＝6x A (2)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，顶点在原点， 对称轴为坐标轴，则该抛物线的标准方程是_____． y2＝16x或x2＝－8y 【知识要点3】 抛物线定义的综合应用 【例3】 已知点M(－2，4)，抛物线y＝ x2的焦点为F，在抛物线上求一点P，使|PM|＋|PF|的值最小． 【变式训练3】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标． 解：如图所示，作PQ⊥l于Q. 由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离， 即|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|. ∵ >2，∴点A在抛物线内部． 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝± . ∴当A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PF|最小，最小值为3＋ ＝ . ... ...
