中小学教育资源及组卷应用平台 分课时教学设计 《5.4.1角平分线的性质》教学设计 课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课 教学内容分析 《角平分线的性质》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第四节第一课时的内容。“角平分线的性质”是初中几何中“图形性质与判定”逻辑体系的关键课例，承接全等三角形的判定方法，既是对全等知识的实践应用，也为后续线段垂直平分线、轴对称图形等内容奠定思维基———它以“性质+逆定理”的结构，呈现了几何中“从图形特征抽象性质、以性质推导判定”的核心逻辑，同时为后续几何证明、距离相关计算提供了实用工具，是连接直观图形与抽象推理的重要纽带。 学习者分析 学生已掌握全等三角形的判定方法，能识别角平分线的图形特征，但对 “性质（点在角平分线上→到两边距离相等）”与“逆定理（到两边距离相等→点在角平分线上）” 的互逆逻辑易混淆，且常忽略“距离需垂直”的细节；同时初中生更易接受直观操作类学习，抽象逻辑推理需借助具体活动逐步引导，需在教学中兼顾直观感知与逻辑严谨性的平衡。 教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。 3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。 教学重点 角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。 教学难点 理解性质与逆定理的互逆关系，准确运用定理时把握 “距离是垂直距离”的条件。 学习活动设计 教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】什么是角平分线？ 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：角平分线的性质定理 【探究】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 教师提问：你有什么方法进行比较？ 教师讲授：1.若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而 PD与PE重合，即PD=PE. 2.利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE. 猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB . 求证：PD=PE. 证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以. 因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO ≌ △PEO（AAS）. 因此PD=PE. 【归纳】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE. 探究二：角平分线的性质定理的逆定理 【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 教师提问：判断命题的真假应该用什么方法？ 教师提问：几何题没有图案应该怎么办？ 【作图】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC. 【证明】已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. 求证：OC是∠AOB的角平分线. 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD=PE， PD ... ...
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