专题16二次函数线段数量关系问题 第一部分：基础知识储备 一、线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点，点，则线段的中点坐标为： . 二、两点间距离公式 如右图，已知： ，， 则， 所以由勾股定理可得： 所以（两点距离公式） 三、基本思路 若是已知或者求解两线段倍数关系，常见的思路如下： 1、设点坐标，利用方程函数思想，联立一次函数二次函数，得到新的一元二次方程，根据韦达定理，表示出相关线段。建立方程或者式子化简求值。这个技能在前面已经讲过了。 2、线段比例问题，也可以考虑构造相似三角形，找到两条线段所在三角形，证明相似或者转化线段来求解。 3、若题目中出现等角，考虑利用等角的三角函数值相同来建立等式。 4、若求线段比例最值，则考虑用同一个字母分别表示出线段，化简式子利用函数思想求解。 第二部分：典型例题分析 例1 如图，已知二次函数（，是常数，）的图象与轴交于点和点。动直线（为常数）与抛物线交于不同的两点、（点在的左侧）。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 动直线与轴交于点，若，求的值； （3） 将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，若动直线与翻折后的图像交于点、，点、能否是线段的三等分点？ 若能，求的长度；若不能，请说明理由。 【解答】（1） ，在抛物线上， ，解得：， 二次函数关系式为； （2） 当在轴的上方，如图， 抛物线的对称轴，与直线交于点，，根据抛物线的对称性可得，，，，，，点的坐标为，点在抛物线上，代入得，， 当在x轴的上方，如图， 此时，根据抛物线的对称性可得，，，，， 点的坐标为，点在抛物线上，代入得，， 综上所述，或； （3） 点、可以是线段的三等分点，此时， 抛物线的顶点坐标为，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，点与点关于x轴对称，点的坐标为，翻折后的抛物线解析式为：，直线与抛物线交于，两点，，解得：，点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点，，解得：，点的坐标为，点的坐标为，要使点、是线段的三等分点，则，，解得：，。 例2 已知：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线经过点B，且与该抛物线有唯一公共点，平移直线l交抛物线于M、N两点（点M、N分别位于x轴下方和上方） （1）若， ①直接写出点A，点B的坐标和抛物线的解析式； ②如图1，连接AM、AN，取MN的中点P，连接PB，求证：； （2）如图2，连接MC. 若轴，求的值. 【解答】（1）由题意得：，解得，，令，解得或，，，抛物线的解析式； ②证明：设， 即，， 解得，. 又， 设， 即，，， ; （2）解：， 对称轴：， 轴 ，当时，，， 即，. ，得，即， 由于直线与抛物线有唯一公共点B，所以，且， 解得，，又，设 ，即，，， 过N作轴于G，过M作轴交x轴于H，交AN于P，设， 当时，，当时，， 在和中 又，，. 例3（湖北青山三模） 已知抛物线，与轴交于、两点（点在点的左边），在与轴交于点，顶点为. （1） 如图1，当为等边三角形时，求的值； （2） 点为轴下方抛物线上一动点. ①如图2，抛物线的对称轴交轴于点，直线交轴于点，直线交对称轴于点，求的值； ②如图3，若，点在轴上方的抛物线上，交轴于，且，轴于，求证：. 【解答】（1） 令，则或，、，，为等边三角形， ，过点作轴，则有： ，，，， ，解得：； （2） ①设，解析式为：，解析式为 由（1）知，，把，代入得：， 解得，，∴AE解析式为，∵当时，，∴，同理：BE解析式为，∵，当时，，∴，又，∴； ②过点作轴于，设，， 设直线解析式为，∵，∴，∴联立方程组， ∴，∴，；∵， ，∴，∴，又，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或，当时直线EF经过点B，不合题意，∴， ∴，∴，∴，∴。 练1 (广东惠州一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A(，0)，B ... ...
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