第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初三第2试试题（图片版，含答案）

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 初三　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) k 1.若反比例函数y= 的图象经过点( 1 - ,),则x 2 2 k 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)-4. (D)4. 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,则下列代数式的值恒为正 值的是( ) (A)abc. (B)ac. (C)bc. (D)ab. 图1 3.若存在1≤x ≤2,使得|ax2-1|-2>0,则a 的取值范围是( ) (A) 1 3 a <-4. (B)a > 4. ( ) 1 3 ( ) 1 3C -4 4. 4.直线 | k| y= x 总是下列哪个函数图象的对称轴 ( )k (A) k y=|k|x. (B)y= . (C)y=kx2. (D)x y=kx. 5.若实数a,b,c满足a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=3,则ab+bc+ca的最小值为( ) (A)- 3. (B)- 2. (C)- 6. (D)2- 3- 6. k 6.如图2,双曲线y= (k>0)经过x Rt△AOB 的斜边AB 的中点C,AF ⊥ AO,BF⊥BO,AF、BF与双曲线分别交于点D、E.若OA=8,OB=6,则四边形 ODFE 的面积是( ) (A)12. (B)24. (C)36. (D)40. 图2 7.对于实数a,规定[a]表示不大于a的最大整数,如[2.1]=2,[-1.5]= - 2.则方程[x]2+[y]2=4的解在xOy坐标系中的图象是( ) 8.某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计,得到下表: 销售量(件) 100 200 300 获利(万元) 7 9 9 若获利是销售量的二次函数,那么,该商店获利的最大值是( ) (A)9万元. (B)9.25万元. (C)9.5万元. (D)10万元. 9.如图3,已知长方形ABCD 的边长AB=3,AD=2,E点在BC边上,且AE ⊥EF,EF交CD 于F.设BE=x,FC=y,则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( ) 10.若凸n 边形A1A2…An 适合以下条件: (1) 图 ∠A1=100° 3 (2)∠Ak+1=∠Ak +8°,k=1,2,…,n-1. 则n 的值是( ) (A)5. (B)6. (C)7. (D)8. 二、填空题(每小题4分,共40分.) 11.若 △ABC 是半径为1的圆的内接三角形,BC= 3,则 ∠A= . 1 1 1 1 12.方程x-2012- 的解是 x-2014=x-2016-x 2018 x= .- 13.如图4,P 是等边 △ABC 内一点,AP =3,PB =4,PC=5,则 ∠APB = . 14.边长为整数,且周长为2012的等腰三角形有 个. 图4 15.已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+(m2-1)=0有两个不相等 的实数根α,β,若α2+β2=4,则m= . 16.已知 △ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(6,-2),C(-1,-2),则 △ABC外接 圆半径的长度为 . 17.已知坐标平面xOy,Rt△ABC 中的直角顶点是A(2,5),点B 与点O 重合,点C 在坐标轴 上,则点C 的坐标是 . 2 2 2 18.已知x+3y+5z=0, x y 3z xy 3yz 2zx 并且x+2y+3z 0,则 - + + + - = x2+3y2-z2 的值等于 . 19.α和β是方程x2 -2x-1= 0的两根,α2 和β2 是x2+mx+n= 0的两根,点(m,n) 在一次函数y=kx+(n-3)的图象上,则此函数的解析式是 ,它的图象与xOy坐 标平面内的坐标轴围成的图形的面积是 . 20.如图5,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BAD=∠ADC=90°,两条对 角线的交点为O.☉O 与AD 相切,并与以AD 为直径的 ☉O′内切.已知AD 长为 h,则梯形ABCD 的面积是 . 三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 图5 解方程x4+(x-2)4-82=0. 22.(本题满分15分) 如图6所示,已知二次函数y=-x2+bx+8的图象与x轴交于A、B 两点,与 y 轴交于点C,且B(4,0). (1)求二次函数的解析式及其图象的顶点D 的坐标; (2)如果点M(p,0)是x 轴上的一个动点,则当|MC-MD|取得最大值时, 求p 的值; (3)如果点E(m,n)是二次函数y=-x2 +bx+8的图象上的一个动点,且 图6 △ABE 是钝角三角形,求m 的取值范围. 23.(本题满分15分) 给你若干个边长都是1的正三角形,正方形,正五边形,正六边形,从其中任选两种(个数不限), 将它们拼接,要求是: ① 使某边重合; ② 两种图形中的任何一种不得有公共部分. 问:(1)用选出的两种图形围成正n边形,如:用3个正方形和3个正六边 形围成一个正三角形ABC(图7). 请你再举两例,并作图说明. (2)对于(1)中的正n 边形,求它的外接圆的半径. 图7 初三 第 2 ... ...