板块六　解析几何（含解析）2026届高中数学二轮复习专题培优

板块六　解析几何培优点 培优点1　隐圆、蒙日圆 类型(一)　隐圆(阿波罗尼斯圆) “阿波罗尼斯圆”的定义:平面内到两个定点A(-a,0),B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心,为半径的圆,即为阿波罗尼斯圆. [例1]　(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A,B为平面上相异的两点,则所有满足:=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆”,后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(4,0),动点P满足=,则下列关于动点P的结论正确的是 (　　) A.点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0 B.△APB面积的最大值为6 C.在x轴上必存在异于A,B的两定点M,N,使得= D.若点Q(-3,1),则2|PA|+|PQ|的最小值为5 [方法例析] 设P(x,y),因为P满足=,所以=,化简得x2+y2+8x=0,故A正确; 由A可知,点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,所以点P的轨迹是以(-4,0)为圆心,4为半径的圆. 又|AB|=6,且点A,B在直径所在直线上,故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时,△APB的面积取得最大值,因为圆上的点到直径的最大距离为半径,即△APB的高的最大值为4,所以△APB面积的最大值为×6×4=12,故B错误; 假设在x轴上存在异于A,B的两定点M,N,使得=,设M(m,0),N(n,0),故=,即=2,化简可得x2+y2-x+=0. 又点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,可得解得或(舍去),故存在异于A,B的两定点M(-6,0),N(-12,0),使得=,故C正确; 因为=,所以2|PA|=|PB|,所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|,又点P在圆x2+y2+8x=0上,如图所示, 所以当P,Q,B三点共线且P在B,Q之间时,2|PA|+|PQ|取得最小值,此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|==5,故D正确. 微点拨:对于动点的轨迹问题,一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹,二是利用直接法求出方程,通过方程识别轨迹. 答案:ACD 类型(二)　蒙日圆 在椭圆+=1(a>b>0)上,任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆的中心,半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根,这个圆叫蒙日圆. 设P为蒙日圆上任一点,过点P作椭圆的两条切线,交椭圆于点A,B,O为原点. 性质1　PA⊥PB. 性质2　kOP·kAB=-. 性质3　kOA·kPA=-,kOB·kPB=-(垂径定理的推广). 性质4　PO平分椭圆的切点弦AB. 性质5　延长PA,PB交蒙日圆O于两点C,D,则CD∥AB. 性质6　S△AOB的最大值为,S△AOB的最小值为. 性质7　S△APB的最大值为,S△APB的最小值为. [例2]　(2024·合肥模拟)已知A是圆x2+y2=4上的一个动点,过点A作两条直线l1,l2,它们与椭圆+y2=1都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N. (1)若A(-2,0),求直线l1,l2的方程; (2)①求证:对于圆上的任意点A,都有l1⊥l2成立; ②求△AMN面积的取值范围. [方法例析] (1)设直线的方程为y=k(x+2), 代入椭圆+y2=1,消去y, 可得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-3=0, 由Δ=0,可得k2-1=0. 设l1,l2的斜率分别为k1,k2,∴k1=-1,k2=1, ∴直线l1,l2的方程分别为y=-x-2,y=x+2. (2)①证明:当直线l1,l2的斜率有一条不存在时,不妨设l1的斜率不存在, ∵l1与椭圆只有一个公共点,∴其方程为x=±, 当l1的方程为x=时,此时l1与圆的交点坐标为(,±1), ∴l2的方程为y=1(或y=-1),l1⊥l2成立, 同理可证,当l1的方程为x=-时,结论成立; 当直线l1,l2的斜率都存在时,设点A(m,n)且m2+n2=4, 设直线方程为y=k(x-m)+n,代入椭圆方程, 可得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0, 由Δ=0化简整理得(3-m2)k2+2mnk+1-n2=0, ∵m2+n2=4, ∴(3-m2)k2+2mnk+m2-3=0. 设l1,l2的斜率分别为k1,k2, ∴k1k2=-1,∴l1⊥l2成立. 综上,对于圆上的任意点A,都有l1⊥l2成立. ②记原点到直线l1,l2的距离分别为d1,d2, ∵MA⊥NA,∴MN是圆的直径, ∴|MA|=2d2,|NA|=2d1,+=|OA|2=4, △AMN面积为S=|MA||NA|=2d1d2, S2=4=4(4-)=-4(-2)2+16, ∵∈[1,3],∴S2∈[12,16], ∴S∈[2,4]. 微点拨:蒙日圆在双曲线、抛物线中 ... ...