5.3实际问题与一元一次方程 同步训练（含解析）2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 一、核心知识点 （一）八大常见模型及核心解法 1. 行程问题 关键公式：路程=速度×时间（） 核心题型： 追及问题：快者路程=慢者路程+初始距离（如爸爸追小明，）； 相遇问题：甲路程+乙路程=总距离（如甲乙骑车相遇，）。 关键提示：统一单位（如分钟换算成小时），明确运动时间是否一致（是否有提前出发/中途休息）。 2. 工程问题 关键公式：工作总量=工作效率×工作时间（总量通常设为1），工作效率=1÷单独完成时间 核心等量关系：各部分工作量之和=1（如甲乙合作运垃圾，乙先做5天+甲乙合作x天=1） 关键提示：请假问题需算实际工作时间（如甲请假y天，实际工作天）。 3. 销售利润问题 关键公式：售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润率=（利润÷进价）×100% 核心等量关系：售价-进价=进价×利润率（如文具八折获利15%，） 关键提示：利润率的计算基数是“进价”，不是标价或售价。 4. 盈不足问题 核心等量关系：两种付款方式的“物价”或“总金额”不变（如共买物，） 关键提示：“盈”是多付的钱，“不足”是少付的钱，均与总量相关。 5. 比例问题 设元技巧：根据比例设未知数（如甲乙小麦质量比3:4，设甲3x吨、乙4x吨） 核心等量关系：变化后两者数量相等（如甲运进2吨、乙运出4吨后相同，） 6. 图形相关问题 核心等量关系：利用面积/边长/体积的和差、相等关系列方程（如剪补成长方形变正方形，） 关键提示：明确图形变化前后的边长关系（如剪去长条的长=正方形边长，补上长条的宽=边长差）。 7. 数字规律问题 设元技巧：根据排列规律设核心数（如连续奇数排列，设左上角数为x，其余数为、、） 核心等量关系：框住数字和=目标值，且数字需符合排列规律（如不超出数列范围） 8. 方案选择问题 解题步骤：①列两种方案的费用关系式；②代入次数/费用求值比较；③根据结果选最优 关键提示：含免费次数/起步价的方案，需分阶段列关系式（如方案一：，） （二）通用解题步骤 设未知数：直接设（问什么设什么）或间接设（按比例、规律设更简便）； 找等量关系：抓关键词（“相等” “多” “少” “盈” “不足” “总计” “剩余”）； 列方程：根据等量关系，将文字转化为代数式+等号； 解方程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 验根：检查解是否符合实际意义（如人数、天数为正整数，边长为正数）。 二、易错注意事项 等量关系找错： 行程问题忽略“提前出发的路程”（如小明先跑5分钟，路程需加）； 工程问题误将“工作时间”当作“合作时间”（如甲请假，乙丙工作6天，甲工作时间≠6天）。 单位不统一：如速度单位是km/h，时间是分钟，需先换算（1小时=60分钟）。 公式混淆： 销售问题：利润率=（利润÷进价）×100%，切勿用“利润÷标价”计算； 工程问题：工作总量设为1，单独完成时间越长，工作效率越低（如甲10天完成，效率为）。 设元不当：比例问题未按比例设元（如甲乙比3:4，设甲x、乙，不如设3x、4x简便）。 忽略实际意义：解为负数、小数（如人数、个数需为正整数）或超出范围（如数字规律中x太大，框不住4个数），需舍去。 方案问题漏阶段：含免费/起步条件的方案，未分阶段列关系式（如方案一免费5次，x<5时费用为200元，需补充）。 同步训练 一、单选题 1．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，则比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有x辆，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两个粮仓原来的小麦质量之比是，给甲粮仓运进2吨小麦，从乙粮仓运出4吨小麦，现在甲、乙两个粮仓小麦的质量相同，则甲粮仓原来的小麦质量是（ ） A．7吨 B．8吨 C．9吨 D．10吨 3．某文具的标价是23元件．按照标价的八 ... ...