第十四章 全等三角形 线段和差的处理方法培优练习（含答案） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第十四章 全等三角形 线段和差的处理方法 板块一 等线段代换 方法技巧 通过用图中相等的一条线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题。 典例精讲 题型 1 代换一条线段 【例1】如图，D 为 BC 上一点，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求证：BC=CD+CE. 题型 2 代换两条线段 【例2】如图，∠BAC=90°，AB=AC，直线 DE 过点 A，BD⊥DE，垂足为 D，CE⊥DE，垂足为 E. (1)如图1，求证：DE=CE+BD； (2)如图2，求证：DE=CE-BD. 实战演练 如图，在△ABC 中，AB=BC，D 为 AB 中点，∠ABC=∠BAE=90°，BE⊥CD 交 AC 于点F.求证：CD=BF+DF. 板块二 截长补短 方法技巧 截长：在长线段上截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条. 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段. 典 例 精 讲 【例】如图,在等腰 Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,D,E 分别是CA 的延长线和AC的延长线上一点,AD=CE,F 为 BA 延长线上的一点,且∠CFA=∠DFA.求证:DF+BE=CF. 证法一(截长法)： 证法二(补短法)： 实 战 演 练 1.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点 F 在AB上,满足∠CFA=∠A,过点 B 作BE⊥AC于点E,延长BE 至点 D,使 DE=BE,连接CD. (1)求证:∠ACD=∠ABC; (2)求证:AE+BF=CE. 2.如图,在五边形ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°. (1)求证:DA 平分∠CDE; (2)求证:∠BAE=2∠CAD. 板块一 等线段代换 典例精讲 【例1】证明:由条件可得△ACE≌△ABD(SAS),∴BD=CE,∴BC=CD+BD=CD+CE. 【例2】证明:(1)易得△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,AE=BD,∴DE=AD+AE=CE+BD; (2)同(1)AD=CE,AE=BD,∴DE=AD-AE=CE-BD. 实战演练 证明:△ABE≌BCD(ASA),得CD=BE,AE=BD=AD,△ADF≌△AEF(SAS),得 DF=EF,∴CD=BE=BF+EF=BF+DF. 板块二 截长补短 典例精讲 【例】证法一(截长法):在 FC上截取FG=FD,易证△AFD≌△AFG,△CAG≌△BCE,∴DF+BE=FG+CG=CF. 证法二(补短法):延长FD 至点H,使 FH=FC,连接AH.证△FAC≌△FAH,△ADH≌△CEB,∴DH=BE,∴DF+BE=DF+DH=FH=CF. 实战演练 1.证明:(1)∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠DEC=90°, ∵BE=DE,CE=CE,∴△BCE≌△DCE, ∴BC=DC,∠ACD=∠ACB=∠ABC; (2)在CE 上截取EG=AE,连接DG. ∵∠AEB=∠DEG,BE=DE, ∴△ABE≌△GDE, ∴∠A=∠DGE=∠AFC,∴∠BFC=∠CGD, ∵BC=DC,∠ACD=∠ABC, ∴△BCF≌CDG(AAS), ∴BF=CG,∴EG+CG=AE+BF=CE. 2.证明:(1)延长 CB 至点 F,使 BF=DE,连接 AF,证△ABF≌△AED(SAS),△ACF≌△ACD(SSS), ∴∠ADC=∠AFC=∠ADE, ∴DA 平分∠CDE; (2)∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠BAD+∠BAF=∠DAF=2∠CAD.