第十四章 全等三角形 一线三等角模型培优练习（含答案） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第十四章 全等三角形 一线三等角模型 板块一 三垂直 模型 模型 1 同侧一线三垂直 模型 2 异侧一线三垂直 模型 3 三垂直 图形 典例 精讲 题型① 构造同侧一线三垂直 【例1】如图,AB⊥BC,且AC⊥CE,AC=CE,连接BE.若BC=6,求 的面积. 题型② 构造异侧一线三垂直 【例2】如图,∠ACB=90°,AC=BC,∠ADC=90°.若 的面积为8，求 CD 的长. 题型③ 构造三垂直 【例3】如图,在△ABC 中, ,D 为AC 的中点, 于点 F，交BC 于点E,连接DE.求证: 实 战 演 练 1.如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,EF⊥AC 于点 F,BG⊥AC 于点G, AC 于点H.请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 . 2.如图,在四边形 ABCD 中,∠ADC=∠C=90°,BC=7,AD=4,过点A 作 ,且AE=AB,连接 DE.求△ADE 的面积. 3.在△ABC 中, ，分别过A，B两点作 于点F， 于点E.若AF=5,BE=2,则 EF 的长为 . 4.如图,在 Rt△ABC中, ,E 为 BC 上一点,连接AE,作. 且AF=AE,BF 交AC 于点 D. (1)求证:D 为BF 的中点; (2)求证:BE=2CD. 板块二 坐标系中的三垂直 典 例 精 讲题型① 两点在轴上，“一点垂” 【例1】如图,在 Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点A(4,0),C(0,-2).求点 B 的坐标. 题型② 一点在轴上，“两点垂” 【例2】如图,在△ACB 中, ，点C 的坐标为((-2,0),，点A 的坐标为(-6,3).求点 B 的坐标. 题型③ 无点在轴上，“一平两垂” 【例3】如图,在 Rt△ABC 中, ,点 B(2,2),C(4,-2).求点 A 的坐标. 题型④顶点不确定，分类讨论 【例4】如图,已知点A(0,3),B(4,1),以AB 为斜边作等腰 则直角顶点C 的坐标为 . 实 战 演 练 1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.若点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0).求m,n之间的数量关系. 2.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A，C分别在x 轴和y 轴上， BC 交x轴于点D,且 AD 恰好平分. 若A(-4,0),D(m,0),点 B 的纵坐标为n,求2n+m的值. 3.如图，在 中， ,点 A(-1,0),C(1,3).求点 B 的坐标. 4.如图，点B 在 y 轴的正半轴上， .若A(-2,a),B(0,b),C(1,c),求(b-c的值. 板块三 一线三等角 条件:∠1=∠2=∠3, PC=PD 结论:△ACP≌△BPD 模型 1 点 P 在线段 AB 上 模型 2 点 P 在线段AB 的延长线上 典 例 精 讲 题型① 同侧一线三等角 【例1】如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AB,AC上的点.若∠EDF=∠B=∠C,BD=CF,求证:DE=DF. 题型②异侧一线三等角 【例 2】如图,AB=AC,∠BAC=60°,D 为△ABC 内一点,点 E 在AD 上,∠ADB=∠AEC=120°.探究 BD,CE 与DE 之间的数量关系. C 实 战 演 练 1.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E 分别为AB,BC上的点,且 CD=DE,∠CDE=45°.求证:BD=BC. 2.如图,在△ABC中,AB=AC>BC,点 D 在BC 上,CD=2BD,点 E,F 在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为12,求△ABE 与△CDF 的面积之和. 板块一 三垂直 典例精讲 【例1】解:过点E作ED⊥BC,交BC 的延长线于点 D. ∵AB⊥BC,ED⊥BD,AC⊥CE, ∴∠ABC=∠D=∠ACE=90°, ∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°, ∴∠BCA=∠DEC,∴△ABC≌△CDE(AAS), 【例2】解:过点 B 作BE⊥CD,交 CD 的延长线于点E,证△ACD≌△CBE(AAS),∴CD=BE,S△△O= CD. 【例3】证明:过点C作CG⊥AC,交AE 的延长线于点G.证△ABD≌△CAG(ASA),∴CG=AD=CD,∠G=∠ADB,易证∠GCE=∠DCE=45°, ∴△CGE≌△CDE(SAS), ∴∠G=∠CDE,∴∠ADB=∠CDE. 实战演练 1.50 解:∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH, ∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°, ∴∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°, ∴∠EAF=∠ABG, ∵AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG, ∴△EFA≌△AGB,∴AF=BG,AG=EF.同理证得△BGC≌△CHD,∴GC=DH,CH=BG. ∴FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, 故答案为50. 2.解：分别过点B，E作AD的垂线，垂足分别为G，H.DG=BC=7,∴AG=3,易得△ABG≌△EA ... ...