第十四章 全等三角形 夹半角模型培优练习（含答案） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第十四章 全等三角形 夹半角模型 板块一 90°角夹45°角 模型1:45°角在90°角内部 模型2：45°角部分在90°角内部 条件:正方形ABCD,∠EAF=45° 方法:延长EB 至点G,使 BG=DF 结论:△ADF≌△ABG,△AEF≌△AEG. 条件:正方形ABCD,∠EAF=45° 方法:在 BC 上截取BG=DF 结论:△ADF≌△ABG,△AEF≌△AEG. 典 例 精 讲 题型 ① 45°角在90°角内部 【例1】如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,∠EAF=45°. (1)求证:EF=BE+DF; (2)求证:EA 平分∠BEF,FA 平分∠DFE. 题型②45°角部分在 90°角内部 【例2】如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D 在△ABC 外部,点 E 在AB 边上,∠DCE=∠DAC=45°.求证:AD+DE=BE. 实 战 演 练 1.在例1的条件下，若点 E 在BC 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，其余条件不变. (1)探究 EF 和BE，DF 三条线段之间的数量关系并证明； (2)探究∠AFD 与∠AFE 之间的数量关系并证明. 2.如图,在四边形 ABCD 中, ,E,F 分别为BC,CD上的点, 探究 EF,BE,DF 之间的数量并证明. 3.如图，在 中， 3 于点A,点E 在AB 上,且 求证：AD+BE=DE. 板块二 120°角夹60°角 模型1:60°角在120°角内部 模型2：60°角部分在120°角内部 条件:∠BDC=120°,BD=CD,∠EDF=60°,等边△ABC. 方法:延长EB 至点G,BG=CF 结论:△CDF≌△BDG,△DEF≌△DEG. 条件:∠BDC=120°,BD=CD,∠EDF=60°,等边△ABC. 方法:在BA 上截取BG=CF 结论:△CDF≌△BDG,△DEF≌△DEG. 典例 精讲 题型① 60°角在 120°角内部 【例】如图,在四边形 ABCD 中,BC=CD,∠BCD=120°,E,F 分别为AB,AD 上的点,∠ECF=∠A=60°. (1)求证:EF=BE+DF; (2)求证:点 C 在∠BAD 的平分线上. 实 战 演 练 题型② 60°角部分在120°角内部 如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=120°,E 为AB 上一点,∠DCE=∠DAE=60°.求证:AD+DE=BE. 板块三 角夹α°角 模型1：α°角在2α°角内部 模型2：α°角部分在2α°角内部 条件： 方法:延长 FD 至点G,使DG=BE 结论:△ADG≌△ABE,△AEF≌△AGF. 条件： 方法：截取. 结论： 典 例 精 讲 题型① α°角在2α°角内部 【例】如图,在四边形 ABCD 中,E 为AB 上一点,F 为AD 上一点,( 2∠ECF,∠B+∠D=180°. (1)求证:EF=BE+DF; (2)求证:EC 平分∠BEF,FC 平分∠DFE. 实 战 演 练 题型②α°角部分在 2α°角内部 如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点 E,F 分别在BC,CD 的延长线上,∠BAD=2∠EAF.求证:EF=BE-DF. 板块一 90°角夹45°角 典例精讲 【例1】证明:(1)延长EB 至点G,使BG=DF,连接AG. 则△ADF≌△ABG(SAS), ∴AF=AG,∠DAF=∠BAG, ∴∠DAF+∠BAF=∠BAG+∠BAF,即∠GAF=∠BAD=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°, ∴△GAE≌△FAE(SAS), ∴EF=EG=BE+BG=BE+DF; (2)∵△GAE≌△FAE, ∴∠AEB=∠AEF,∴AE平分∠BEF. ∵△GAE≌△FAE,∴∠AFE=∠G. ∵△ADF≌△ABG,∴∠AFD=∠G. ∴∠AFD=∠AFE,∴AF平分∠DFE. 【例2】证明:在AB上截取BF=AD,连接CF. ∵∠DAC=∠B=45°,AC=BC, ∴△DAC≌△FBC(SAS), ∴CD=CF,∠DCA=∠FCB, ∴∠DCF=∠ACB=90°,∴∠DCE=∠ECF=45°, 又∵CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS), ∴DE=FE,∴AD+DE=BF+EF=BE. 实战演练 1.解:(1)EF=BE-DF.证明如下:在 BE 上截取BG=DF,连接AG.则△ADF≌△ABG(SAS), ∴AF=AG,∠DAF=∠BAG, ∴∠DAF+∠DAG=∠BAG+∠DAG, 即∠GAF=∠BAD=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°, ∴△GAE≌△FAE(SAS), ∴EF=EG=BE-BG=BE-DF; (2)∠AFD+∠AFE=180°.证明如下: 由(1)知△ADF≌△ABG,△GAE≌△FAE, ∴∠AFD=∠AGB,∠AFE=∠AGE, ∴∠AFD+∠AFE=∠AGB+∠AGE=180°. 2.解:EF=BE+DF.证明如下: 延长CD 至点G,使DG=BE. 由∠BAD=∠C=90°,得∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ADG=∠ABE,∴△ABE ... ...