第十四章 全等三角形 婆罗摩笈多模型培优练习（含答案） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第十四章 全等三角形 婆罗摩笈多模型 板块一 向外作双等腰直角三角形 模型1：知中点，证垂直 模型2：知垂直，证中点 条件:AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD,AC=AE,F 是 BC 的中点 方法：倍长中线AF 结论:AF⊥DE,DE=2AF 条件:AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD,AC=AE,AF⊥BC 方法:作 DM⊥AF,EN⊥AF 结论:G 是DE 的中点,BC=2AG 典 例 精 讲 题型① 证中点 【例1】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BD⊥AB,EB⊥BC,AB=DB,BC=BE,延长CB交DE 于点 F.求证:F 是DE 的中点. 题型② 证线段二倍 【例2】如图,在△ABC 中,分别以 AB 和AC 为边作△ABE 和△ACD,AB=AE,AC=AD,连接DE,延长CA 交DE 于F.若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°,求 的值. 实 战 演 练 题型 求面积 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,分别以AC,BC 为一直角边作等腰Rt△ACE 和等腰Rt△BCD,连接 DE 交 BC 的延长线于点F.求△CEF 的面积. 板块二 向内作双等腰三角形 模型1：知中点，证垂直 模型2：知垂直，证中点 条件:AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD,AC=AE,F 是 BC的中点 方法：倍长中线AF 结论:AF⊥DE,DE=2AF 条件： AD,AC=AE,AF⊥BC 方法：作 结论:G 是DE 的中点,BC=2AG 典 例 精 讲 【例】如图,AC=AE,AD=AB,∠ACB=∠DAB=90°,AE∥CB,AC,DE 交于点F. (1)求证:∠DAC=∠B; (2)猜想线段AF，BC 的数量关系并证明. 实 战 演 练 1.如图,AD 为△ABC 的中线,AE=AB,AF=AC,连接 EF,EF =2AD.求证:∠EAF+∠BAC=180°. 2.如图,在△ABC 中,分别以 AB 和 AC 为边作△ABE 和 ，且∠BAE+∠CAD=180°. AB 与DE 交于点F,F 为DE 的中点.求证:BC=2AF. 第13讲 婆罗摩笈多模型 板块一 向外作双等腰直角三角形 典例精讲 【例1】证明:过点 D作DH⊥FB,交 BF 的延长线于点 H. ∵∠ACB=90°,BD⊥AB,AB=DB, ∴可证△ABC≌△BDH(AAS), ∴BC=DH=BE,∴△DHF≌△EBF(AAS). ∴DF=EF,∴F 是DE 的中点. 【例2】解:过点 E 作EH⊥AF,交AF 的延长线于点 H. ∵∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°, ∴∠EHA=∠ACB,∠EAH+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°,∴∠EAH=∠ABC, ∵AB=AE,∴△AHE≌△BCA, ∴EH=AC,AH=BC,∵AC=AD,∴EH=AD, ∵∠EHA=∠FAD=90°,∠EFH=∠DFA, ∴△FHE≌△FAD,∴FH=AF,∴AH=2AF, 实战演练 解:过E作EH⊥BF 交BF 的延长线于点H, ∴∠ABC=∠ACE=∠H=90°, ∴∠ACB+∠ECH=∠ACB+∠CAB=90°, ∴∠BAC=∠ECH,∵AC=CE, ∴△ABC≌△CHE(AAS), ∴BC=EH=3,CH=AB=6, ∵∠CHE=∠DCH=90°,BC=CD, ∴EH∥CD,EH=CD,∴△CDF≌△HEF(AAS), ∴△CEF 的面积为 板块二 向内作双等腰三角形 典例精讲 【例】解:(1)∵∠ACB=∠DAB=90°,AE∥BC, ∴∠CAE=180°-∠ACB=90°,∠B=∠BAE, ∴∠DAC=90°-∠BAC=∠BAE,∴∠DAC=∠B; (2)BC=2AF.证明如下:过点 D 作 DG⊥AC,交AC的延长线于点G， ∵AG⊥DG,∴∠AGD=∠ACB=90°, ∴△AGD≌△BCA(AAS), ∴DG=AC=AE,AG=BC, ∴△AEF≌△GDF(AAS), ∴AF=GF,∴BC=AG=2AF. 实战演练 1.证明:延长AD 至点 H,使 HD=AD,连接CH, ∵BD=CD,AD=HD,∠ADB=∠HDC, ∴△ADB≌△HDC,∴∠BAD=∠CHD,AB=HC, ∴AB∥CH,∴∠BAC+∠ACH=180°, ∵EF=2AD,HA=2AD,∴EF=HA, ∵AE=AB,AB=HC, ∴HC=AE,又AC=AF, ∴△AHC≌△FEA,∴∠EAF=∠ACH, ∴∠EAF+∠BAC=180°. 2.证明:过点 E 作EG∥AD,交AB 的延长线于点G. ∵∠BAE+∠CAD=180°, ∴∠DAE+∠CAB=180°, ∵EG∥AD,∴∠DAE+∠AEG=180°, ∴∠AEG=∠CAB. ∵AC=AD,EG∥AD,F 为DE 的中点, ∴△DAF≌△EGF, ∴EG=AD=AC,AF=GF,∴AG=2AF. ∵AB=AE,∠AEG=∠CAB,EG=AC, ∴△ABC≌△EAG,∴BC=AG=2AF. ... ...