7.1 为什么要证明讲义 同步练习（原卷版+答案版）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

7.1 为什么要证明 推理证明的必要性 通过观察、实验、归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明. 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实等. 检验数学结论是否正确的常用方法 常用方法 说明 实验验证 为验证这种认识或假设是否正确而进行的实验，实验验证是最基本的方法 举例说明 举出使结论不成立的例子说明要检验的结论不一定成立. 推理论证 任何推理都包含前提和结论两部分，在“前提”下，严格推理论证“结论”的正确与否是最可靠、最科学的方法. ①实验验证常用于检验比较直观简单的结论. ②举例说明是验证错误结论的常用方法. ③说明一个数学结论正确，要进行严谨的推理论证. 题型一：实验验证结论 易错警示：只凭经验、观察解题导致出错解此题时很容易不加验证，只凭经验、观察而得到错误答案.要通过科学的方法进行严格的推理，得出准确的结论. 例1：先观察再验证(如图)： (1)图①中线段a和线段b哪个长？ (2)图②中实线是直的还是弯曲的？ (3)图③中两条线段a与b哪一条更长？ 解：观察可能得出的结论是：(1)a比b长；(2)图中的实线是弯曲的；(3)图中a更长一些. 用科学的方法验证可发现：经测量验证(1)a比b一样长；(3)a比b一样长. (2)图中的实线是直的；验证：在实线图形的其中一条边上任取两点E，F，连接EF，并向两端延伸，会发现，此边在直线EF上.同理可验证实线图形的另两条边也是直的. 题型二：推理的应用 例2：如图所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成 33 段. 某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( C ). A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多 C．甲、乙需要的材料一样多 D．不确定 甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖( D ). A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 若要说明“若a＞b，则a2＞b2”是错误的，下列所举的例子正确的是( C ). A．a＝2，b＝1 B．a＝－2，b＝－1 C．a＝－1，b＝－2 D．a＝－1，b＝1 若要说明“若a＋b＜0，则a＜0，b＜0”是错误的，能说明它的例子是( C ). A．a＝6，b＝8 B．a＝－6，b＝8 C．a＝6，b＝－8 D．a＝－6，b＝－8 下列说法正确的是( D ). A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系 C．对于自然数n，n2＋n＋3一定是质数 D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2 在学习中，小明发现： 当n＝1，2，3时，n2－4n的值都是负数， 于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－4n的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由． 解：小明的猜想不正确，理由：当n＝5时，n2－4n的值为5，就是非负数 观察下列各式规律：①52－22＝3×7；②72－42＝3×11；③92－62＝3×15…… 根据上面等式的规律： (1)写出第6和第n个等式； (2)你能用数学方法验证第n个等式的正确性吗？ 解：(1)第6个等式为：152－122＝3×27； 第n个等式为：(2n＋3)2－(2n)2＝3(4n＋3) (2)∵左边＝4n2＋12n＋9－4n2＝12n＋9＝3(4n＋3)＝右边， ∴第n个等式正确. 巩固练习： 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述，正确的是( D ). A. 通过观察或依靠经验获得 B. 推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系 C. 通过亲自实验得 ... ...