培优03 利用基本不等式求最值的方法（技巧解密+6考点）（含解析）高一数学同步培优备课学案（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台 培优03 利用基本不等式求最值的方法 题型1 直接法求最值 1基本不等式：若，则 (当且仅当时，等号成立)； 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是为定值；三等指的是等号要取得到。 3 基本不等式的变式： ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【注意】利用基本不等式求最值时，要注意等号是否能够取到。 1（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（ ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 2（24-25高一上·吉林四平·期末）若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ） A． B． C．1 D． 3（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 4（24-25高一上·山东·阶段练习）若，则的最小值为（ ）． A．2 B． C．4 D．6 5（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则的最小值是（ ） A．4 B． C． D．6 题型2 配凑法求最值 1 积定求和中，当利用时用直接法最值，而不为定值，则需要通过配凑的方法使得为定值； 2和定求积中，当利用时用直接法最值，而不为定值，则需要通过配凑的方法使得为定值. 【注意】在配凑时，要注意最后等号也要确定能够取到。 1（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 2（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D．不存在 3（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型3 消元法求最值 1 当题目中存在多个变量，则可通过它们之间的关系进行消元，把问题转化为单个变量或双变量的问题； 2 消元时要思考下，消哪个未知数会使得过程更简洁些。 1（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知实数、、满足，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 2（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 3（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ） A．12 B． C．36 D． 4（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 5（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 6（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 题型 4 乘“1”法求最值 1当题中的已知条件和求证中出现和，和（为常数）形式的式子，可采取乘“1”法； 2 若已知条件等式中右侧，则两边除以，使得右边为. 【注意】在配凑的过程中，要注意最后等号也要确定能够取到。 1（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C． D． 2（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 3（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ） A． B．7 C． D．8 4（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）设，，若，则的最小值为（ ） A．6 B．9 C． D．18 题型 5构造不等式法求最值 寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 【注意】在构造时，往含所求式子的不等式思考。 1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 ... ...