中小学教育资源及组卷应用平台 微专题 周期性及应用 题型一 函数周期性的定义与求解 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件周期f(x＋a)＝f(x－a)2af(x＋a)＝－f(x)2af(x＋a)＝－2af(x＋a)＝2a关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|偶函数，关于直线x＝a对称2a关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|奇函数，关于对称关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|奇函数，关于直线x＝a对称4a4a 1．（2025高一·陕西宝鸡·期末）我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2022年是虎年，那么1949年是（ ） A．牛年 B．虎年 C．兔年 D．龙年 【答案】A 【分析】利用周期函数的定义求解即可. 【详解】根据题意，农历年号对应的动物是以12为周期的周期函数， 所以， 所以1949年是牛年. 故选：A. 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（ ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【详解】因为的周期是3， 所以，令， 则，所以的周期为6， 故选：C． 3．（2025·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】B 【分析】利用周期的定义即可得充分性，当时，即可验证必要性. 【详解】由的最小周期为1可得，即， 所以“的最小周期为1” ， 当时，，但的最小正周期是2， 所以推不出“的最小周期为1”，所以“的最小周期为1”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 4．（2025高一·上海杨浦·期中）有下面两个命题： ①若是周期函数，则是周期函数； ②若是周期函数，则是周期函数， 则下列说法中正确的是（ ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可. 【详解】若是周期函数，设周期为，则，则也是周期函数，故①正确； 若是周期函数，设周期为，则， 不一定成立，故②错误. 故选：B. 题型二 判断或证明抽象函数的周期性 判断抽象函数周期性,先抓已知关系式(如f(x+a)=-f(x)等),通过迭代推导：用x+a替换x,代入原式化简,若得f(x+T)=f(x),则周期为T。也可结合奇偶性、对称性辅助推导(如奇函数+对称轴x=a,周期为4a)。关键是迭代替换、化简式子,锁定f(x+T)=f(x)的形式。 5．（2025高一·上海·课堂例题）若函数满足，求的周期. 【答案】的周期为4（或4的非零整数倍）. 【分析】利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. 【详解】因为，所以， 所以的周期为4（或4的非零整数倍）. 6．（2025高一·云南曲靖·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的函数值； (2)证明：为周期函数． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用赋值法求解； （2）由函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用周期函数的定义求解. 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又因为， 所以， 则； （2）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，又， 所以，即， 则， 所以是以4为周期的周期函数. 7．（2025 ... ...
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