中小学教育资源及组卷应用平台 微专题 换底公式的应用 题型一 对数式的化简与求值 核心是“换底统一+法则联用”。先通过换底公式将不同底数对数化为同底数(优先选常用对数或自然对数),再活用对数运算法则(加减变乘除、乘除变加减)化简。巧用换底公式变形式(如)和特殊值(loga),分步运算避免出错,聚焦“统一底数—化简运算—得出结果"的逻辑。 1．（25-26高三·湖北荆州·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：2 2．（2025·吉林·模拟预测）求值： . 【答案】8 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算． 【详解】， 故答案为：8. 3．（25-26高三·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 【答案】1 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算. 【详解】. 故答案为：1. 4．（25-26高三·云南昆明·阶段练习） . 【答案】 【分析】由对数运算性质可得答案. 【详解】原式=． 故答案为： 5．（25-26高三·重庆·阶段练习）计算 . 【答案】 【分析】利用对数换底公式将不同底数的对数转化为相同底数的对数，再结合对数运算性质进行化简；利用指数运算性质对指数部分进行化简，最后进行计算即可. 【详解】根据题意，原式. 故答案为：. 6．（25-26高三·北京·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则、换底公式计算. 【详解】, 故答案为：. 7．（2025高一·北京延庆·开学考试）计算：= ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算得解. 【详解】 . 故答案为： 题型二 用已知对数表示未知对数 应用换底公式,将题目条件与结论中不同底的对数进行同底化处理,实现对数的化简或求值的目的。解题时,合理对比题目条件与结论之间的差别与联系,借助换底公式求得结果。 8．（25-26高一·全国·单元测试）（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可； （2）先根据所给条件求得的值，再代入计算即可. 【详解】（1）； （2） 即， ，即． ，即， 或． 符合题意，舍去， ． 9．（25-26高一·上海·期中）若，则 .（用表示） 【答案】 【分析】利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】因，则. 故答案为： 10．（2025高一·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 11．（2025高一·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 12．（2025高三·上海·阶段练习）若，，试用a，b表示 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】， 因为，所以，所以. 故答案为：. 13．（2025高一·上海·期中）已知，，则用表示 . 【答案】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 15．（2025高一·江苏宿迁·期末）已知，用表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数和对数的关系以及对数的运算性质计算即可； 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 题型三 关系式求值问题 借助对数的换底公式的变形式或且0且),结合题目条件加以合理变形与转化,在对数的化简或求值方面有奇效。 1 ... ...
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