重难点专题 幂指对综合大题（专项训练）（含解析）高一数学同步培优备课学案（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台 重难点专题 幂指对压轴大题归类 1 函数值域 重难点一、指数函数型值域 求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是奇函数． (1)求λ的值； (2)判断的单调性，并用证明你的结论； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 =1(2)增函数，证明见解析 3) 【分析】（1）法一，利用奇函数的定义结合待定系数法计算即可；法二、利用计算参数，再根据定义验证即可； （2）利用单调性的定义作差计算即可； （3）先利用函数的单调性脱去函数符号，再根据整体思想分离参数得出， 结合换元法构造新函数，由单调性的定义判定其单调性计算函数最值即可. 【详解】（1）法一、因为函数是R上奇函数，所以恒成立， 则，由于，则，所以． 法二、因为函数是R上奇函数，所以，即，解得． 当时，由于，此时函数是奇函数，所以． （2）函数为增函数，证明如下： 任取，因为，由于是增函数，所以，又因为，所以，所以，所以函数为增函数． （3）因为为单调增函数，当，不等式恒成立， 所以恒成立，即， 则，在为增函数，则， 所以，有．令， 则，令，由于，设， 则，由于， 则，所以， 所以在单调递增．所以函数在为增函数， 则，则，所以． 2．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接计算； （2）根据复合函数的单调性可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可解不等式； （3）根据二次函数与函数复合，可得函数单调性与最值情况. 【详解】（1）由已知是定义域为上的偶函数， 则，即，化简可得恒成立，又不恒成立，即； （2）由（1）得，当时，设，且单调递增， 则，，则函数在上单调递增，综上所述在上单调递增，根据偶函数可知在上单调递减； 所以若，则，解得或且≠， 即不等式的解集为； （3）由，设， 由（2）可知，在上单调递增，即当，， ， 当时，函数在处取得最小值为，解得； 当时，函数在处取得最小值为，解得，不成立； 综上所述. 3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知指数函数. (1)当时，解不等式； (2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求函数在上的最大值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）令，解二次不等式结合指数函数单调性可得答案； （2）由指数函数单调性可得，令，由二次函数知识可得答案； （3）由题可得，，令，分类讨论，，三种情况可得答案. 【详解】（1）当时，，， 令，得到，，因此，得到，故解集为. （2）因为，所以是单调增函数，故由得， 因为，且，所以恒成立，所以，， 设，令，则，， 令，， 则函数在上单调递减，所以，，故； （3）因为，则，， 令，因，故，令，其中， 当时，在上递增，则； 当时，令，其中， 若，函数在上单调递增，则； 若，则，则函数在上单调递增，； 若，则，则.综上所述，. 重难点二、对数函数型值域 求对数函数最值和值域： 1.对数定义内求值域，真数大于0，底数大于0且不等于1 2.如果涉及到复合型对数，要注意复合型定义范围。 3.合理使用对数运算公式，借助整体换元来转化对数函数为一元二次函数等形式，便于求值域。 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数 ... ...