专题十七 三角形、全等三角形的性质与判定讲义 【题型一】三角形的角平分线、中线和高 【例1】（2025 庄浪县二模）如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据三角形的中线，周长的计算得到BC＝2CD＝6，AC＝4，根据△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD，得到△ABD与△ACD的周长之差为AB﹣AC，由此即可求解． 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝3，则BC＝6， ∴AC＝16﹣AB﹣BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD， ∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， 故选：A． 【变式1】（2025 南关区校级二模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025 广东模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ） A．CE B．AF C．DB D．AB 【变式3】（2025 锡山区二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【题型二】三角形的面积 【例1】（2024 德州）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（ ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【分析】利用三角形面积公式求出BC，再根据中线的定义求出BE即可． 【解答】解：∵S△ABCBC AD＝12，AD＝4， ∴BC＝6， ∵AE是中线， ∴BEBC＝3． 故选：B． 【变式1】（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（ ） A．14 B．11 C．10 D．9 【变式2】（2025 德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，0），如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【变式3】（2024 达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ． 【题型三】三角形的重心 【例1】（2025 威海）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（ ） A．S△DEFS△BCF B．S△ADES四边形BCED C．S△DBFS△BCF D．S△ADC＝S△AEB 【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为BE，CD为△ABC的中线， 所以点F为△ABC的重心， 所以DE∥BC，DE， 所以△DEF∽△CBF， 所以， 所以． 故A选项不符合题意． 因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC， 所以， 所以． 故B选项符合题意． 因为点F为△ABC的重心， 所以DF， 所以． 故C选项不符合题意． 因为DE∥BC， 所以S△DBE＝S△DCE， 所以S△ADC＝S△AEB． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025 雁塔区校级三模）如图，△ABC的中线BF、AE交于点O，且AE⊥BF，点D是AB边上的中点，连接DO，若DO＝4，∠BAO＝60°，则BC的长为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025 崇明区模拟）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（ ） A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD 【变式3】（2025 深圳模拟）如图，点P是△ABC的重心．过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E；作DF∥EC交AC于点F．若△ABC的面积为18，则四边形ECFD的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型四】三角形三边关系 【例1】（2025 海南）已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（ ） A．2 B．5 C．8 D．11 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜x＜8，即可得到答案． 【解答】解：由 ... ...
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