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课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 1.5 三角函数的应用 教学过程 一、教学基本信息 课题：1.5 三角函数的应用；课时：1课时；对象：九年级学生；学情：已掌握解直角三角形方法，需强化“实际问题建模”能力，理解仰角、俯角等概念。 4. 小结与作业（5分钟）：小结：建模关键是构Rt△。作业：测量树顶仰角及水平距，计算树高；教材习题1.5第2题。 1. 情境导入（5分钟）：展示吊车吊货示意图，提问“吊臂长不变，货物升高时角度如何变化？如何求吊臂长度？”引出应用核心———将实际问题转化为直角三角形。 2. 核心概念与方法（15分钟）：讲解仰角（低处看高处，视线与水平线夹角）、俯角（高处看低处），强调二者为内错角时相等。建模步骤：①画示意图；②标已知量（角度、边长）；③构Rt△；④选三角函数计算。 3. 例题与练习（20分钟）：例：吊车吊臂AD长x，货物D高12m，吊臂与水平线夹角53°，初始夹角18°，求x（sin53°≈0.8，sin18°≈0.3）。解：12=x·0.8+x·0.3→x≈10.9m。练习：测得楼顶仰角53°，水平距15m，求楼高（tan53°≈1.33）。 引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？ B A C 60° D 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile. 北 东 与方位角有关的实际问题 1 解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 设 AD = x ， 则在 Rt△ABD 中， 在 Rt△ACD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. B A C D 25° 55° 北 东 由 BC = BD - CD，得 链接中考 1. [贺州中考]如图，在 A 处的正东方向有一港口B. 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60° 方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 n mile/h 的速度行驶 3 h 到达港口 B. 求 A，B 间的距离. （ ，结果精确到 0.1 n mile ） 北 东 A B C 60° 解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD = 60°，∠BCD = 45°. 在Rt△BCD 中， D D 在Rt△ACD 中， 即 A，B 间的距离约为 114.7 n mile. 北 东 A B C 60° 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 实际问题 画出平面图形 生活问题数学化 数学问题 （作辅助线，构造直角三角形） 设未知量 建立方程 （构造三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 解答问题 归纳总结 仰角和俯角问题 2 如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高 （小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ） 想一想 解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m. Rt△ADC 中， . Rt△BDC 中， . ∴ x = ≈43 ( m ). ∴ AB = AC－BC = . 30° 60° 50 m 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 知识要点 2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物 的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号） E 解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E. 则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC. 设 BE = x . 在Rt△ABE中，∠BAE = 30 ... ...
