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课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第二章 二次函数 2.5.1二次函数与一元二次方程的关系 竖直上抛物体的高度h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示： h＝－5t2+v0t+h0 抛出时的高度 抛出时的速度 新课导入 一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示. h＝－5t2+v0t+h0 抛出时的高度 抛出时的速度 新课导入 那么： （1）h与t的关系式是什么？ h=－5t2＋40t （2）小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流. ①由图象可知8秒后小球落地. ②将h=0代入二次函数解得t=0或t=8 t=0为开始时间，t=8为结束时间. 探究新知 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示. （1） （2） （3） 与同伴交流并回答问题. 二次函数 的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 一元二次方程 有几个根？ 两个根 二次函数 的图象与x轴有几个交点？ 一个交点 一元二次方程 有几个根？ 两个相同的根 二次函数 的图象与x轴有几个交点？ 没有交点 一元二次方程 有几个根？ 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 抛物线y=ax2+bx+c与x轴 ax2+bx+c = 0 的根 △= b2 – 4ac 有两个交点 有两个不同实根 △ > 0 有一个交点 有两个相同实根 △ = 0 没有交点 没有实数根 △ < 0 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 想一想 h=－5t2＋40t 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 返回 C 1. [教材P53“习题2.10”第2题变式]二次函数y＝x2＋2x－2的图象与x轴的交点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 返回 2. C 下列函数的图象与x轴没有交点的是( ) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝－x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 返回 3. 若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴有交点，则c的取值范围是_____. 返回 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 B 返回 5. (－1，0)和(－5，0) 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝－5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标是_____. 返回 6. x1＝－1，x2＝3 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为_____. 返回 7. A 已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)，则(a＋1)(b＋1)的值为( ) A．－5 B．－1 C．3 D．7 8. x1＝－1，x2＝3 (20分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是_____； (2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是_____； (3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是_____； (4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是_____； x1＝0，x2＝2 x1＝－2，x2＝4 x1＝x2＝1 解：此方程无实数根． (5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况是什么？ 返回 9. 证明：因为(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2≥0， 所以对于任意实数m， 该二次函数图象与x轴总有公共点． (8分) [教材P53“习题2.10”第4题变式]已知二次函数 y＝2x2－mx－m2. (1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； 解：把(1，0)代入二次函数表达式，得0＝2－m－m2， 解得m1＝－2，m2＝1， 当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4， 令y＝0，则2x2＋2x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－2， (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且点A的坐标为(1，0)，求点B的坐标. 返回 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来 ... ...
