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课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.3 垂径定理 新课导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 37.4m 7.2m 3.3 垂径定理 教学过程幻灯片分页内容 第1页：情境导入———聚焦圆与弦的垂直关系（5分钟） 1. 回顾旧知：提问“圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？”引导学生回忆圆的轴对称性（直径所在直线为对称轴）。 2. 情境设问：展示生活中的圆形拱桥图片，提问“工程师在设计圆形拱桥时，如何根据桥洞的跨度（弦长）和拱高，计算桥洞的半径？这个问题需要用到我们今天要学习的核心定理———垂径定理。” 3. 引出课题：明确本节课主题———3.3 垂径定理，探究圆中直径与弦垂直时的特殊关系。 第2页：实验探究———垂径定理的发现（12分钟） 1. 动手操作：请学生拿出圆形纸片，按以下步骤操作：① 画一条非直径的弦AB；② 过圆心O画直径CD，使CD⊥AB，垂足为E；③ 将圆形纸片沿CD折叠，观察折叠后弦AB的两部分、弧AB的两部分是否重合。 2. 观察记录：引导学生重点观察并记录：① 点A与点B的位置关系；② 线段AE与BE的长度关系；③ 弧AC与弧BC、弧AD与弧BD的数量关系。 3. 小组归纳：各小组分享操作结果，共同归纳：折叠后A与B重合，故AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD，即垂直于弦的直径将弦和弦所对的两条弧都平分了。 第3页：定理推导———垂径定理的精准表述与证明（10分钟） 1. 定理抽象：引导学生将实验结论转化为严谨的数学语言，得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 符号表示：结合图形（⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E），用符号表示定理：∵ CD是⊙O的直径，CD⊥AB ∴ AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。 3. 逻辑证明：引导学生用全等三角形证明定理（连接OA、OB，∵ OA=OB，OE⊥AB，∴ △AOE≌△BOE（HL），故AE=BE；又∵ 圆心角∠AOE=∠BOE，∴ 弧AC=弧BC，同理弧AD=弧BD）。 4. 关键辨析：① 强调“弦不是直径”：展示反例（直径垂直于直径），说明若弦为直径，垂直的直径不一定平分另一条直径所对的弧；② 补充推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 第4页：典例解析———垂径定理的应用（15分钟） 例1：基础应用———求圆的半径。如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 解题步骤：① 构造直角三角形：过O作OE⊥AB于E，连接OA（“作垂线、连半径”核心辅助线）；② 应用垂径定理：∵ OE⊥AB，∴ AE=AB/2=4cm；③ 用勾股定理计算：在Rt△AOE中，OA =OE +AE =3 +4 =25，∴ OA=5cm。答：⊙O的半径为5cm。 例2：实际应用———解决拱桥问题。某圆形拱桥的跨度（弦长）为16m，拱高（圆心到弦的距离的补数）为4m，求该拱桥所在圆的半径。（提示：设半径为R，圆心到弦的距离为R-4，结合垂径定理和勾股定理列方程求解） 第5页：巩固练习———深化定理理解（10分钟） 1. 判断题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）在⊙O中，若直径CD⊥弦AB，则弧AC=弧BC。（答案：×、×、√，并说明错误原因） 2. 计算题：如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于E，若弧CD=60°，OE=2cm，求⊙O的半径和弦CD的长。（答案：半径4cm，CD=4√3 cm） 3. 变式训练：若将上题中“弧CD=60°”改为“CD=6cm”，其他条件不变，求OE的长。（强化“知二求一”的解题思路） 第6页：课堂小结与作业布置（8分钟） 1. 小结回顾：① 垂径定理核心：垂直于弦的直径→ ... ...
