专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示 1.(2023湖南湘潭期末)向量a,b,c在网格中的位置如图所示,若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=(　　) A.-　　B.　　C.-4　　D.4 2.(2023河南洛阳栾川第一高级中学入学测试)已知AB是☉O的直径,C,D是半圆弧上的两个三等分点,设=a,=b,则=(　　) A.a+b　　B.a-b　　C.a+b　　D.a-b 3.(2025福建龙岩期中)已知在正方形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为BC的中点,DE与CO相交于点F,M为DF的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为(　　) A.　　B.-　　C.-　　D.- 4.在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,M为BC的中点,H为△ABC的内心,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.　　B.　　C.　　D.1 5.(多选题)(2024河北石家庄二中月考)如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若=λ+μ(λ,μ∈R),则下列说法错误的是(　　) A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个 D.满足λ+μ=的点P有且只有一个 6.(2025天津第二中学月考)设点O为△ABC的外心,AB=2,AC=3,=x+y,x+2y=1(xy≠0),则cos∠BAC=　　　　. 7.(2025江苏无锡锡山高级中学期中)如图,△ACD是边长为2的等边三角形,O是边AC上一点,连接DO并延长至点B,若=t+(t为常数),且BD=4,则OA的长度是　　　　. 8.(2025江西赣州十八县(市)二十五校期中联考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且AE,BF,CD交于点M. (1)已知=. (i)若O是△ABC所在平面内任意一点,证明:=+; (ii)若=,=x,求x的值; (2)若=a,=b,=c,证明:abc=1. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示 1.A 2.A 3.D 4.A 5.ABD 1.A　设网格中每个小正方形的边长均为1,在网格线上取互相垂直的单位向量i,j,如图所示, 则有a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j, 由c=xa+yb,得-i-3j=x(-i+j)+y(6i+2j)=(-x+6y)i+(x+2y)j, 则解得∴x+y=-. 2.A　连接OC,OD,CD(图略). ∵C,D是半圆弧上的两个三等分点,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,又OC=OD,∴△COD为等边三角形,∴CD=OB,∠ODC=60°,∴CD∥AB. 又AB是☉O的直径,∴AB=2OB, ∴CD=AB,∴==a, ∴=+=b+a. 3.D　解法一:因为四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,易得△ADF∽△CEF, 因为E为BC的中点,所以CE=CB=AD,故==2,所以=, 则=+=-+×=-+-=--=--, 所以λ=-,μ=-,则λ+μ=--=-. 解法二:易知△ADF∽△CEF,结合E为BC的中点,可得==2,又M为DF的中点,所以=,因为D,M,E三点共线,所以=+=--,又=λ+μ,所以λ=-,μ=-,所以λ+μ=--=-. 解法三:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系, 不妨设正方形ABCD的边长为6,则A(0,0),B(6,0),D(0,6),C(6,6),E(6,3),易知△ADF∽△CEF,E为BC的中点,故==2,又M为DF的中点,所以=,设M(x,y),由定比分点坐标公式可得x==2,y==5,即M(2,5),所以=(-4,-1),又=(6,0),=(0,6),所以由=λ+μ,可得(-4,-1)=λ(6,0)+μ(0,6), 得λ=-,μ=-,所以λ+μ=--=-. 知识拓展 　　在三角形ABC中,D为BC边上一点,若BD∶DC=m∶n,则=+. 4.A　易知△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,以A为原点建立平面直角坐标系,如图, 则A(0,0),B(0,6),C(8,0),M(4,3), 所以=(0,6),=(4,3). 设△ABC的内切圆的半径为r, 则×(6+8+10)r=×6×8,解得r=2, ∴H(2,2),∴=(2,2). ∵=λ+μ,∴(2,2)=λ(0,6)+μ(4,3), ∴解得∴λ+μ=. 5.ABD　如图,以A为原点,建立平面直角坐标系, 令AB=1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), ∴=(1,0),=(0,1), 则=λ+μ=λ+μ(-)=(λ-μ)+μ=(λ-μ,μ), 当P在AB上时,0≤λ-μ≤1且μ=0, ∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1; 当P在BC上时,λ-μ=1且0≤μ≤1, 则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3; 当P在CD上时,0≤λ-μ≤1且μ=1, ∴μ≤λ≤ ... ...