中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 专题强化练7 复数四则运算的综合应用 1.(2025江西重点中学盟校联考)设i为虚数单位,复数z的共轭复数为,若=,则z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2025吉林四平第一高级中学月考)设复数z满足=1,令z1=,则|z1|的最大值是( ) A. B. C. D. 3.(多选题)(2024江西萍乡期末)已知复数z1=3-2i,(1+i)·z2=1-3i,则( ) A.z2=-1-2i B.z1-2z2在复平面内对应的点位于第一象限 C.|z1+z2|=2|z2| D.z1·z2是纯虚数 4.(多选题)(2023河南驻马店段考)已知复数z1,z2是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个根,且z1·z2=,+=-,则( ) A.z1与z2互为共轭复数 B.a-b=2 C.a2+b2=5 D.|-|= 5.(多选题)(2024江西宜春丰城第九中学期末)已知i为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A.在复平面内,点O是原点,若+i对应的向量为,将绕点O按逆时针方向旋转90°得到,则对应的复数为-+i B.虚数z满足z·=|z|2 C.复数z满足|z-i|=1,则|z+2|的最大值为3 D.已知p,q均为实数,-3-2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个解,则p=6 6.已知=a+bi(a,b∈R),则a+b= . 7.已知z1=a+2i,z2=3+4i(i为虚数单位). (1)若为纯虚数,求实数a的值; (2)若|z1-|<|z1|(其中是复数z2的共轭复数),求实数a的取值范围. 8.(2024山东枣庄三中期中)在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,i是虚数单位. (1)若z1=1+2i,z2=3-4i,计算z1·z2与·; (2)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,求证:|·|≤|z1·z2|,并指出向量,满足什么条件时该不等式取等号. 答案与分层梯度式解析 专题强化练7 复数四则运算的综合应用 1.A 2.D 3.ABC 4.ACD 5.BD 1.A 由题意得===1-2i,所以z=1+2i, 则z在复平面内对应的点为(1,2),位于第一象限. 2.D 因为=1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(记为A)为圆心,1为半径的圆. z1===z-1-i,所以|z1|=|z-1-i|,它表示圆上的点与点(1,1)(记为B)之间的距离,易知|z1|=|z-1-i|的最大值为|AB|+1, 因为|AB|==,所以=+1=. 3.ABC 因为(1+i)·z2=1-3i,所以z2====-1-2i,故A正确; z1-2z2=3-2i-2(-1-2i)=5+2i,则z1-2z2在复平面内对应的点为(5,2),位于第一象限,故B正确; 因为z1+z2=3-2i-1-2i=2-4i,所以|z1+z2|==2,因为2|z2|=2×=2,所以|z1+z2|=2|z2|,故C正确; z1·z2=(3-2i)(-1-2i)=-3-6i+2i+4i2=-7-4i,不是纯虚数,故D错误. 4.ACD 实系数一元二次方程的复数根互为共轭复数,故A正确; 由题意得,z1+z2=,z1·z2==,所以b=1, 又(z1+z2)2=+2z1·z2+=-+2×==,a>0, 所以a=2,所以a-b=2-1=1,a2+b2=22+12=5,故B错误,C正确; (z1-z2)2=-2z1·z2+=--2×=-, 所以|z1-z2|==,所以|-|=|z1-z2|×|z1+z2|=×=,故D正确. 5.BD 对于A,根据题意得,在复平面内,对应的复数为(+i)i=-1+i,故A错误; 对于B,设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=a2+b2,所以z·=|z|2,故B正确; 对于C,设z=x+yi(x,y∈R),易知|z-i|=1表示在复平面内,点(x,y)的轨迹是以(0,1)(记为A)为圆心,1为半径的圆, |z+2|表示圆上的点(x,y)到点(-2,0)(记为B)的距离, 所以|z+2|的最大值为圆心A到点B的距离加上圆的半径,即+1=+1,故C错误; 对于D,易知-3+2i是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的另一个解,所以-p=(-3-2i)+(-3+2i)=-6,即p=6,故D正确. 6.答案 1 解析 不妨设复数ω=-+i, 则ω2==--i, ω3==1, 所以====i, 所以a=0,b=1,从而a+b=1. 7.解析 (1)由z1=a+2i,z2=3+4i, 得====+i. 因为为纯虚数,所以所以a=-. (2)由z1=a+2i,z2=3+4i,得z1-=(a+2i)-(3-4i)=(a-3)+6i, 又因为|z1-|<|z1|,所以<, 即(a-3)2+36
, 故实数a的取值范围为. 8.解析 (1)z1·z2=(1+2i)(3-4i)=11+2i. ∵=(1,2),=(3,-4),∴·=-5. (2) ... ... 
