专题强化练11　折叠问题--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 专题强化练11　折叠问题 1.(2023江西南昌重点校联考)下图是由边长为2的正△ABC与正方形BCDE拼接成的平面图形,现将△ABC沿BC折起,当二面角A-BC-D为时,直线AB与CD夹角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选题)(2023江西新余一中期末)如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=3,=2,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,若M为线段A1C上的点,满足=2,则在△ADE翻折的过程中(点A1不在平面DEBC内),下面说法正确的是(　　) A.BM∥平面A1DE B.点M在某个圆上运动 C.存在某个位置,使DE⊥A1C D.线段BA1的长的取值范围是(,3) 3.(2025上海七宝中学开学考试)如图1,在矩形ABCD中,BC=1,AB=x,BD和AC交于点O,将△BAD沿直线BD折起,如图2,则以下命题中,真命题有　　　　.(写出所有真命题的序号) 　 ①存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AB⊥OC; ②存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AC⊥BD; ③存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AB⊥平面ACD; ④存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AC⊥平面ABD. 4.(2024上海大学附属中学月考)如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,沿BD将△BCD折起,使得点C在平面ABD上的射影落在AB上,则直线BC与平面ABD的夹角为　　　　. 5.如图,等腰梯形ABCD中,AD=DC=BC=2,AB=4,E为AB的中点,将△ADE沿DE折起,得到四棱锥P-DEBC,F为PC的中点,M为EB的中点. (1)证明:FM∥平面PDE; (2)证明:DE⊥PC. 6.(2024广东广州期末)如图①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.将△BCD沿BD翻折至△BC1D的位置,连接AC1,且AC1=2,如图②. (1)求证:平面ABC1⊥平面AC1D; (2)求二面角C1-BD-A的平面角的余弦值. 　 7.(2025江西鹰潭模拟)如图1,等腰梯形AECD是由三个全等的等边三角形拼成的,现将△BCE沿BC翻折至△BCP的位置,使得PD=AB,如图2所示. (1)求证:PD⊥BC; (2)在直线PD上是否存在点M,使得直线BM与平面APD夹角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练11　折叠问题 1.C　如图,分别取BC,ED的中点F,G,连接AF,AG,FG,AE. 易得AF⊥BC,FG⊥BC,所以∠AFG为二面角A-BC-D的平面角,所以∠AFG=, 又AF∩FG=F,AF,FG 平面AFG,所以BC⊥平面AFG, 又ED∥BC,所以ED⊥平面AFG, 又AG 平面AFG,所以ED⊥AG. 由已知得,AF=,FG=2, 所以AG===1,AE==. 因为BE∥CD,所以∠ABE(或其补角)为直线AB与CD的夹角. 在△ABE中,cos∠ABE===. 2.ABD　如图所示,在DC上取一点N,令=2,连接NB,NM, 在矩形ABCD中,AB=CD且AB∥CD, 又因为=2,=2, 所以EB=ND且EB∥ND,所以四边形EBND为平行四边形,所以NB∥DE, 又因为NB 平面A1DE,DE 平面A1DE, 所以NB∥平面A1DE, 因为=2,=2,所以NM∥A1D, 又因为NM 平面A1DE,A1D 平面A1DE, 所以NM∥平面A1DE, 因为NM∩NB=N,且NM,NB 平面BMN, 所以平面BMN∥平面A1DE, 因为MB 平面BMN,所以BM∥平面A1DE,故A正确; 由NB∥ED,NM∥A1D,A1D=AE=2,可得∠A1DE=∠MNB=, 由=2,=2可知,NM=A1D=,而BN=DE=2, 由余弦定理可知,BM的长度为定值,而B为定点,故M在以B为圆心,BM为半径的圆上运动,故B正确; 取DE的中点H,连接HA1,HC,在△A1DE中,A1D=A1E=2,所以DE⊥A1H, 假设DE⊥A1C成立,因为A1H∩A1C=A1,A1H,A1C 平面A1HC,所以DE⊥平面A1HC, 又因为CH 平面A1HC,所以DE⊥CH, 而在△CDH中,DH=,DC=3,CH=,所以∠DHC≠,故DE⊥CH不成立,所以假设不成立,故C错误; 在DC上取一点A2,令=2,连接BA2, 在△ADE翻折过程中,线段BA1长的最大值在A1与A重合时取得,则(BA1)max=BA=3, 线段BA1长的最小值在A1与A2重合时取得,则(BA1)min=BA2=, 又因为点A1不在平面DEBC内,所以线段BA1的长的取值范围是(,3),故D正确. 3.答案　①②③ 解析　当AB=x=1时,矩形ABCD为正方形,所以AC⊥BD, 将△BAD沿直线BD折起,当平面ABD⊥平面BCD时,由OC⊥BD,OC 平面 ... ...