专题强化练12　数学文化背景下的空间几何体问题--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 专题强化练12　数学文化背景下的空间几何体问题 1.(2025甘肃白银会宁一中模拟)粽子古称“角黍”,由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成,是中国传统节庆食物之一,因各地饮食习惯不同,粽子的形状和味道也有所不同.下图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”,其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面边长为4 cm,其侧面与底面夹角的正切值为,则该广式五角粽的侧面积为(　　) A.2 cm2　　B.4 cm2 C.8 cm2　　D.25 cm2 2.(2024湖南长沙长郡中学月考)数学著作《九章算术》卷五“商功”讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如,在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时,将正四棱台切割成九部分求解体积.图(1)为俯视图,图(2)为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体,B,D,H,F对应四个三棱柱,A,C,I,G对应四个四棱锥.若四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为(　　) 　 A.20　　B.24　　C.28　　D.32 3.(多选题)(2025陕西西安铁一中学月考)折扇在我国已有三四千年的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面,是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若侧面展开图的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且∠ABC=120°,则该圆台的(　　) 　 A.高为 B.表面积为π C.体积为π D.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶24 4.(多选题)(2024江苏南通海安高级中学阶段检测)香囊,又名香袋、花囊,是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品,香囊形状多样,如图1所示的六面体就是其中一种,已知该六面体的所有棱长均为2,其平面展开图如图2所示,则关于该六面体,下列说法正确的是(　　) A.AB⊥DE B.直线CD与直线EF的夹角为45° C.该六面体的体积为 D.该六面体内切球的表面积是 5.(2025江苏常州北郊高级中学阶段练习)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度.已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°,且BC=40,则由此可计算出球体建筑物的体积为　　　　. 6.(2024辽宁葫芦岛模拟)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,在羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,△ADE和△BCF均为等边三角形,且EF=2AB=6,求这个几何体的外接球的体积. 7.(2025浙江嘉兴期末)我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时,提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. (1)如图,已知一个半径为R的半球以及一个底面半径和高都等于R的圆柱,在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体,试用祖暅原理求该新几何体的体积; (2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,Q为空间内一点,满足QA⊥QD1,记点Q的轨迹所围成的空间几何体为Ω. (i)求平面BDD1B1截空间几何体Ω所得截面的面积; (ii)若平面BDD1B1把空间几何体Ω分成两个部分,求较小部分的体积. 答案与分层梯度式解析 专题强化练12　数学文化背景下的空间几何体问题 1.C 2.C 3.BCD 4.AD 1.C　设该广式五角粽的直观图为如图所示的正四棱锥S-ABCD, 则AB=AD=4 cm, 取底面ABCD的中心O,棱AB的中点H,连接SO,SH,OH,AC,易得SH⊥AB,O为AC的中点, 因为H为AB的中点,所以OH∥BC,且OH=BC=2 cm, 因为 ... ...