1.4利用三角形全等测距离 （30分提至70分使用） 1. 测距离原理 利用三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等。通过构造两个全等三角形，将无法直接测量的距离转化为可测量的对应边的长度。 2. 构造全等三角形的方法 操作步骤： 在待测距离的两点 ( A )、( B ) 中，选择 ( A ) 点，在 ( AB ) 所在直线外任取一点 ( C )； 连接 ( AC ) 并延长至 ( D )，使 ( CD = AC )； 连接 ( BC ) 并延长至 ( E )，使 ( CE = BC )； 连接 ( DE )，则 ( DE ) 的长度即为 ( AB ) 的距离。 理论依据：在和中， 由SAS（边角边）判定，因此 ( AB = DE )。 3. 关键步骤总结 确定目标：明确需要测量的不可达距离（如 ( AB )）； 构造全等：通过作对称点、延长线段等方式构造全等三角形（如）； 测量替代边：测量全等三角形中与目标距离对应的已知边（如 ( DE )），即得目标距离。 4. 核心思想 转化思想：将实际问题转化为数学模型（三角形全等），利用几何性质解决现实中的测量难题。 结合尺规作图的全等问题 1．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 2．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明） 3．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD． (1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长． 5．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌_____． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_____．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 倍长中线模型 6．如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 7．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 8．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 9．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 10．问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是_____； (2)的取值范围是_____； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 旋转模型 11．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点_____，旋转角的度数为_____． 12．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 13．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．用等式表示线段与的数量关系，并加以证 ... ...
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